线性代数研究型作业行列式计算基本方法有二： 6个性质法和按行按列展开法。举至少三个例题 范德蒙德行列式的特点及应用P23，8（3） 行列式在解线性方程组方面的应用即克拉默法则

三个例题：

1. 按行展开：$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = -15$

2. 按列展开：$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} + 7 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 0$

3. 利用性质4：$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -23$

范德蒙德行列式的特点及应用：

范德蒙德行列式为$\begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix}= \prod_{1\leq i<j\leq n}(a_j-a_i)$

范德蒙德行列式可用于判断$n$个数$a_1,a_2,\cdots,a_n$是否互不相同。当行列式不为0时，即$n$个数互不相同；当行列式为0时，则至少有两个数相同。

应用：在插值问题中，给定$n+1$个点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)$，要求求出一个$n$次多项式$P(x)$，使得$P(x_i)=y_i$。用拉格朗日插值公式可得多项式$P(x)$的表达式，其中涉及到$n+1$个系数$a_0,a_1,\cdots,a_n$，这$n+1$个系数可以通过解范德蒙德行列式得到。

行列式在解线性方程组方面的应用即克拉默法则：

对于线性方程组$Ax=b$，若$A$为$n\times n$的可逆矩阵，则方程组有唯一解$x=A^{-1}b$。克拉默法则给出了用行列式求解$x_i$的表达式：

$$x_i=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1i} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & a_{2i} & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{ni} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}}$$

其中，$i=1,2,\cdots,n$。