CubicSpline

### 三次样条插值 (Cubic Spline Interpolation)

#### 问题描述
给定三个曲线的数据点，分别构建两种类型的三次样条函数：
1. 第一类边界条件下的三次样条函数。
2. 自然三次样条函数（即第二类边界条件）。

#### 数据点
- **曲线1**:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|--|---|
| y | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 | 13 | 17 |

- **曲线2**:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 17 | 20 | 23 | 24 | 25 | 27 | 27.7 |

- **曲线3**:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| y | 27.7 | 28 | 29 | 30 |

#### 数学原理
三次样条插值是一种用于平滑插值的方法，它通过构建一组三次多项式来近似原始数据点之间的函数。这些多项式满足以下条件：
1. 在每个节点上，插值多项式的值等于给定的数据点。
2. 在相邻节点之间，插值多项式的一阶导数和二阶导数连续。

##### 第一类边界条件
- \( S''(x_0) = f''(x_0) \)
- \( S''(x_0) = 0 \)
- \( S''(x_n) = 0 \)

#### 程序设计
以下是使用Python实现三次样条插值的示例代码：

import numpy as np
from scipy.interpolate import CubicSpline
import matplotlib.pyplot as plt

# 曲线1数据
x1 = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8])
y1 = np.array([1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 17])

# 曲线2数据
x2 = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6])
y2 = np.array([17, 20, 23, 24, 25, 27, 27.7])

# 曲线3数据
x3 = np.array([0, 1, 2, 3])
y3 = np.array([27.7, 28, 29, 30])

# 构建三次样条插值函数
cs1_first = CubicSpline(x1, y1, bc_type='clamped')  # 第一类边界条件
cs1_natural = CubicSpline(x1, y1, bc_type='natural')  # 自然三次样条

cs2_first = CubicSpline(x2, y2, bc_type='clamped')
cs2_natural = CubicSpline(x2, y2, bc_type='natural')

cs3_first = CubicSpline(x3, y3, bc_type='clamped')
cs3_natural = CubicSpline(x3, y3, bc_type='natural')

# 绘制结果
x_new = np.linspace(min(x1), max(x1), 100)
plt.figure(figsize=(12, 8))

plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(x1, y1, 'o', label='Data points')
plt.plot(x_new, cs1_first(x_new), label='First boundary condition')
plt.plot(x_new, cs1_natural(x_new), label='Natural spline')
plt.legend()
plt.title('Curve 1')

plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(x2, y2, 'o', label='Data points')
plt.plot(x_new, cs2_first(x_new), label='First boundary condition')
plt.plot(x_new, cs2_natural(x_new), label='Natural spline')
plt.legend()
plt.title('Curve 2')

plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(x3, y3, 'o', label='Data points')
plt.plot(x_new, cs3_first(x_new), label='First boundary condition')
plt.plot(x_new, cs3_natural(x_new), label='Natural spline')
plt.legend()
plt.title('Curve 3')

plt.tight_layout()
plt.show()

#### 结果分析
- **第一类边界条件**：这种条件下，样条函数的二阶导数在端点处等于给定的值，通常选择为零或已知的二阶导数值。
- **自然三次样条**：这种条件下，样条函数的二阶导数在端点处为零，适用于没有先验知识的情况。

#### 体会与收获
通过这次作业，我深入了解了三次样条插值的基本原理和实现方法，并学会了如何使用Python中的`scipy.interpolate.CubicSpline`库来构建不同类型的样条函数。这不仅提高了我的数学建模能力，还增强了我在实际问题中应用数值计算方法的能力。