共轭梯度法求二元二次函数最小值的公式

对于二元二次函数 $f(x)=\frac{1}{2}x^TQx+b^Tx+c$，其中 $Q$ 是一个对称正定矩阵，$b$ 和 $c$ 是常向量和常数，则共轭梯度法求解其最小值的公式为：

1. 初始化 $x_0$ 和 $r_0=b-Qx_0$，同时令 $p_0=r_0$。
2. 计算 $\alpha_k=\frac{r_k^Tr_k}{p_k^T Q p_k}$。
3. 更新 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k p_k$。
4. 更新 $r_{k+1}=r_k-\alpha_k Q p_k$。
5. 计算 $\beta_k=\frac{r_{k+1}^Tr_{k+1}}{r_k^Tr_k}$。
6. 更新 $p_{k+1}=r_{k+1}+\beta_k p_k$。
7. 重复步骤 2-6 直到满足收敛条件。

其中，$x_k$ 是第 $k$ 步的近似最小值，$r_k$ 是第 $k$ 步的残差，$p_k$ 是第 $k$ 步的搜索方向，$\alpha_k$ 是步长，$\beta_k$ 是搜索方向的系数。收敛条件可以设置为 $||r_k||<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是一个足够小的正数。