共轭梯度法求二元二次函数最小值的公式

对于二元二次函数 $f(x)=\frac{1}{2}x^TQx+b^Tx+c$，其中 $Q$ 是一个对称正定矩阵，$b$ 和 $c$ 是常向量和常数，则共轭梯度法求解其最小值的公式为：

1. 初始化 $x_0$ 和 $r_0=b-Qx_0$，同时令 $p_0=r_0$。
2. 计算 $\alpha_k=\frac{r_k^Tr_k}{p_k^T Q p_k}$。
3. 更新 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k p_k$。
4. 更新 $r_{k+1}=r_k-\alpha_k Q p_k$。
5. 计算 $\beta_k=\frac{r_{k+1}^Tr_{k+1}}{r_k^Tr_k}$。
6. 更新 $p_{k+1}=r_{k+1}+\beta_k p_k$。
7. 重复步骤 2-6 直到满足收敛条件。

其中，$x_k$ 是第 $k$ 步的近似最小值，$r_k$ 是第 $k$ 步的残差，$p_k$ 是第 $k$ 步的搜索方向，$\alpha_k$ 是步长，$\beta_k$ 是搜索方向的系数。收敛条件可以设置为 $||r_k||<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是一个足够小的正数。

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共轭梯度法求解二元函数最小值的matlab代码

以下是使用 MATLAB 实现的共轭梯度法求解二元二次函数最小值的代码示例：

% 定义二元二次函数
Q = [3, 2; 2, 6];
b = [2; -8];
c = 0;

% 初始化参数
x0 = [0; 0];
r0 = b - Q * x0;
p0 = r0;

% 设置收敛条件
epsilon = 1e-6;

% 迭代计算
x = x0;
r = r0;
p = p0;
k = 0;
while norm(r) > epsilon
    alpha = r' * r / (p' * Q * p);
    x = x + alpha * p;
    r_prev = r;
    r = r - alpha * Q * p;
    beta = r' * r / (r_prev' * r_prev);
    p = r + beta * p;
    k = k + 1;
end

% 输出结果
disp(['Minimum value: ' num2str(c + b' * x + x' * Q * x)]);
disp(['Optimal solution: (' num2str(x(1)) ', ' num2str(x(2)) ')']);

其中 `Q`、`b`、`c` 分别表示二元二次函数的系数矩阵、常向量和常数项，`x0` 表示初始点，`epsilon` 表示收敛精度。在迭代计算中，使用 `r` 表示残差，`p` 表示搜索方向，`k` 表示迭代次数，最终输出最小值和最优解。

请使用c++语言，按照以下要求编写c++代码：使用共轭梯度法，求目标函数Q(x)=60-10x1-4x2+x1^2+x2^2的最小值，已知起点x0=[0 0]^T,注意请不要使用例如Eigen的数值优化库

共轭梯度法是一种无矩阵运算的直接优化算法，适合于大型稀疏线性系统的问题。在这里，我们可以手动实现共轭梯度法的核心步骤。首先，我们需要计算目标函数Q(x)及其梯度。对于给定的二元二次函数，目标函数和梯度可以简化为：

目标函数 \( Q(x_1, x_2) = -10x_1 - 4x_2 + x_1^2 + x_2^2 + 60 \)

梯度 \( \nabla Q(x_1, x_2) = [-20 + 2x_1, -4 + 2x_2] \)

接下来是共轭梯度的迭代过程，假设当前点为 \( x_k \)，搜索方向为 \( p_k \)，步长为 \( \alpha_k \)：

1. 初始化：\( x_0 = [0, 0]^T \), \( p_0 = -\nabla Q(x_0) \), \( \alpha_0 = 0 \)
2. 计算搜索方向：\( A = H(x_k) \)（Hessian矩阵，对于这个二次函数，A就是对角矩阵[2, 2])
3. 更新步长：找到最小化 \( Q(x_k + \alpha_k p_k) \) 的 \( \alpha_k \)（通常通过牛顿法则或 Wolfe 条件）
4. 更新位置：\( x_{k+1} = x_k + \alpha_k p_k \)
5. 如果达到停止条件（如绝对误差小于某个阈值），结束；否则更新搜索方向（通常是 \( p_{k+1} = -1} \) ，其中 \( \beta_k \) 根据 Polak-Ribiere 或 Fletcher-Reeves 策略计算）

由于这里是一个简化的例子，我会给出核心代码片段，但完整的循环和停止条件需要你自己添加。以下是基本的共轭梯度迭代代码：

#include <iostream>
#include <cmath>

// 目标函数值和梯度
double func(double x1, double x2) {
    return -10 * x1 - 4 * x2 + pow(x1, 2) + pow(x2, 2) + 60;
}
void grad(double x1, double x2, double& dx1, double& dx2) {
    dx1 = -20 + 2 * x1;
    dx2 = -4 + 2 * x2;
}

int main() {
    const double tol = 1e-6; // 设置停止条件
    double x1 = 0, x2 = 0;
    double dx1, dx2, alpha, beta;
    double p1 = -dx1, p2 = -dx2;

    // 主循环
    for (int k = 0; /*此处应添加停止条件*/; ++k) {
        grad(x1, x2, dx1, dx2);

        // 使用Fletcher-Reeves策略计算beta
        beta = (dx1 * p1 + dx2 * p2) / (p1 * p1 + p2 * p2);

        // 更新搜索方向
        p2 = dx1 - beta * p1;

        // 检查是否成为共轭方向
        if (fabs(p2[0]) <= tol || fabs(p2[1]) <= tol) {
            // 如果不是共轭方向，恢复到原始梯度
            p2 = -grad(x1, x2);
            beta = 0;
        }

        // 更新步长并移动
        alpha = func(x1, x2) / (p2[0] * dx1 + p2[1] * dx2); // 或使用更复杂的线性搜索
        x1 -= alpha * p2[0];
        x2 -= alpha * p2[1];

        // 打印当前点和进度
        std::cout << "Iteration " << k << ": x1=" << x1 << ", x2=" << x2 << ", f(x)=" << func(x1, x2) << std::endl;
    }

    // 结果
    std::cout << "Minimum found at x1=" << x1 << ", x2=" << x2 << ", f_min=" << func(x1, x2) << std::endl;
    return 0;
}