共轭梯度法求二元二次函数最小值的公式

对于二元二次函数 $f(x)=\frac{1}{2}x^TQx+b^Tx+c$，其中 $Q$ 是一个对称正定矩阵，$b$ 和 $c$ 是常向量和常数，则共轭梯度法求解其最小值的公式为：

1. 初始化 $x_0$ 和 $r_0=b-Qx_0$，同时令 $p_0=r_0$。
2. 计算 $\alpha_k=\frac{r_k^Tr_k}{p_k^T Q p_k}$。
3. 更新 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k p_k$。
4. 更新 $r_{k+1}=r_k-\alpha_k Q p_k$。
5. 计算 $\beta_k=\frac{r_{k+1}^Tr_{k+1}}{r_k^Tr_k}$。
6. 更新 $p_{k+1}=r_{k+1}+\beta_k p_k$。
7. 重复步骤 2-6 直到满足收敛条件。

其中，$x_k$ 是第 $k$ 步的近似最小值，$r_k$ 是第 $k$ 步的残差，$p_k$ 是第 $k$ 步的搜索方向，$\alpha_k$ 是步长，$\beta_k$ 是搜索方向的系数。收敛条件可以设置为 $||r_k||<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是一个足够小的正数。

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共轭梯度法求解二元函数最小值的matlab代码

以下是使用 MATLAB 实现的共轭梯度法求解二元二次函数最小值的代码示例：

% 定义二元二次函数
Q = [3, 2; 2, 6];
b = [2; -8];
c = 0;

% 初始化参数
x0 = [0; 0];
r0 = b - Q * x0;
p0 = r0;

% 设置收敛条件
epsilon = 1e-6;

% 迭代计算
x = x0;
r = r0;
p = p0;
k = 0;
while norm(r) > epsilon
    alpha = r' * r / (p' * Q * p);
    x = x + alpha * p;
    r_prev = r;
    r = r - alpha * Q * p;
    beta = r' * r / (r_prev' * r_prev);
    p = r + beta * p;
    k = k + 1;
end

% 输出结果
disp(['Minimum value: ' num2str(c + b' * x + x' * Q * x)]);
disp(['Optimal solution: (' num2str(x(1)) ', ' num2str(x(2)) ')']);

其中 `Q`、`b`、`c` 分别表示二元二次函数的系数矩阵、常向量和常数项，`x0` 表示初始点，`epsilon` 表示收敛精度。在迭代计算中，使用 `r` 表示残差，`p` 表示搜索方向，`k` 表示迭代次数，最终输出最小值和最优解。

共轭梯度法求二次函数的极小点的python代码

以下是共轭梯度法求解二次函数极小点的 Python 代码：

import numpy as np

# 定义二次函数 f(x) 和梯度函数 f'(x)
def f(x):
    return x[0]**2 + 2*x[1]**2 + 3*x[0]*x[1] + 4*x[0] + 5

def gradient(x):
    return np.array([2*x[0] + 3*x[1] + 4, 4*x[1] + 3*x[0]])

# 共轭梯度法求解极小值点
def conjugate_gradient(f, gradient, x0, eps=1e-6):
    x = x0.copy()
    g = -gradient(x)
    d = g
    while np.linalg.norm(g) > eps:
        alpha = np.dot(g, g) / np.dot(d, np.dot(H, d))
        x = x + alpha*d
        g_new = -gradient(x)
        beta = np.dot(g_new, g_new) / np.dot(g, g)
        d = g_new + beta*d
        g = g_new
    return x

# 测试代码
x0 = np.array([0.0, 0.0])
xmin = conjugate_gradient(f, gradient, x0)
print("极小点(x, y) = ({:.4f}, {:.4f})".format(xmin[0], xmin[1]))
print("函数极小值为 {:.4f}".format(f(xmin)))

注意：此代码仅作为示例提供，并不能保证在所有情况下都能正确求解极小值点。在实际应用中，需要根据具体问题进行调整和优化。