考虑 100 层剪切型框架结构，该结构受到地震激励作用，地震激励被模拟以平稳高斯白噪声，利用加速度计测量结构第10、20、30、40、50、60、70、80、90、100 层的绝对加速度响应，测量时长为200 s，测量频率为250 Hz。 1.利用量测数据，求出结构的前N阶自振频率与振型，要求给出详细计算过程，并对N的取值给出详细说明。（80%） 如何利用加速度响应信号重构结构的位移和速度信号，要求给出详细计算过程。运用MATLAB求解

1. 求前N阶自振频率与振型的计算过程：

首先，将量测数据进行傅里叶变换，得到加速度响应的频域表示。然后，通过模态分析方法，求出前N个主振动模态（即前N个自振频率和振型），其中N的取值应该足够大，以保证计算结果的准确性。

具体的计算过程如下：

Step 1: 数据预处理

将量测数据进行去均值处理，即减去其平均值。

Step 2: 傅里叶变换

对去均值后的加速度响应信号进行傅里叶变换，得到其频域表示。

Step 3: 模态分析

使用模态分析方法，求出前N个主振动模态，即前N个自振频率和振型。

模态分析方法有多种，这里介绍一种基于奇异值分解（SVD）的方法：

（1）将傅里叶变换后的频域数据进行奇异值分解，得到其左奇异向量、右奇异向量和奇异值。

（2）将左奇异向量和右奇异向量按列组成矩阵，称为模态矩阵。

（3）对模态矩阵进行特征值分解，得到特征向量和特征值。

（4）根据特征向量和特征值，求出前N个主振动模态的自振频率和振型。

Step 4: N的取值

N的取值应该足够大，以保证计算结果的准确性。一般来说，N的取值应该大于等于结构的自然振动数目。

2. 重构结构的位移和速度信号的计算过程：

根据牛顿第二定律，可以将加速度响应信号转化为结构的位移和速度信号。具体的计算过程如下：

Step 1: 数据预处理

将量测数据进行去均值处理，即减去其平均值。

Step 2: 傅里叶变换

对去均值后的加速度响应信号进行傅里叶变换，得到其频域表示。

Step 3: 求取位移和速度信号

根据牛顿第二定律，可以得到结构的位移和速度信号：

$$
\begin{aligned}
u_i &= \frac{1}{2\pi f}\sum_{j=1}^n\frac{a_j\omega_j^2}{(\omega_j^2-\omega_i^2)+2i\zeta_j\omega_i\omega_j}e^{-i\omega_j t} \\
v_i &= \frac{1}{2\pi f}\sum_{j=1}^n\frac{a_j\omega_i\omega_j}{(\omega_j^2-\omega_i^2)+2i\zeta_j\omega_i\omega_j}e^{-i\omega_j t}
\end{aligned}
$$

其中，$u_i$表示第$i$层的位移，$v_i$表示第$i$层的速度，$a_j$表示第$j$层的加速度响应，$\omega_i$表示第$i$个自振频率，$\zeta_j$表示第$j$层的阻尼比，$f$表示采样频率，$t$表示采样时间。

Step 4: MATLAB求解

利用MATLAB编写程序，根据上述公式计算出每一层的位移和速度信号。