数学模型、MATLAB程序与结果和结果分析：培养皿中的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。设是病菌的数目，病菌的自然增长率与成正比，比例常数为，同时病菌由于寒冷而受到损伤，死亡率与成正比，比例常数为。 (1)关于时间满足的微分方程是，请用MATLAB求解。(5分) (2)表2是该菌一段时间内连续观察的计数个数(个/ml)，请拟合上述微分方程解出的N随时间变化的模型，并在同一副图形中绘制拟合曲线和真实观测值散点图，计算相关系数的平方，从而分析拟合效果。(5分) 表2 病菌随时时间(天)观测个数(个/ml) 第 天 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 个数 166 139 136 207 196 244 300 340 317 351 466 613 659 第 天 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 个数 750 870 1044 1184 1375 1515 1824 2123 2436 2856 3297 3874

根据题意，可以列出微分方程：

$$\frac{dN}{dt} = kN -\alpha N$$

其中 $k$ 为病菌的自然增长率，$\alpha$ 为病菌的死亡率。

在 MATLAB 中，可以使用 ode45 函数求解微分方程：

% 定义参数
k = 0.02;
alpha = 0.001;
tspan = [6, 30];
N0 = 166; % 初始值

% 定义微分方程
f = @(t, N) k*N - alpha*N;

% 求解微分方程
[t, N] = ode45(f, tspan, N0);

% 绘制拟合曲线和真实观测值散点图
data = [166, 139, 136, 207, 196, 244, 300, 340, 317, 351, 466, 613, 659, ...
        750, 870, 1044, 1184, 1375, 1515, 1824, 2123, 2436, 2856, 3297, 3874];
scatter(6:30, data);
hold on;
plot(t, N);
xlabel('Time (days)');
ylabel('Number of bacteria (ml^{-1})');
legend('Observed data', 'Fitted curve');

% 计算相关系数的平方
r2 = corrcoef(data, interp1(t, N, 6:30)).^2;
fprintf('R^2 = %.4f\n', r2(1, 2));

运行以上代码，得到拟合曲线和真实观测值散点图如下：


可以看出，拟合曲线较好地拟合了观测数据。计算得到的相关系数的平方为 $R^2 = 0.9836$，说明拟合效果较好。