、拉格朗日插值的一个有益应用称为表查询(table look-up)。顾名思义,这个应 用是在一个表中“查询”中间值。开发这样一个算法,首先将由 x 和 f(x)组成的 表存储在两个一维数组里,然后根据需要计算的数据点的 x 值,将这些值对传给 一个函数。该函数执行两个任务。首先,它向下遍历表,直到找到未知数所在的 那个区间为止。然后,应用像拉格朗日插值这样的方法确定合适的 f(x)值。使用 三次拉格朗日多项式开发一个函数执行插值计算。对于中间的区间,这是一个不 错的选择,因为生成三次多项式所必需的 4 个点一共组成三个区间,而未知数位 于中间的区间内。对于第一和最后一个区间,可以使用二次拉格朗日插值多项式。 当用户请求 x 定义域外的某个值时,代码也应该能检测到。对于这种情况,函数 应显示出错信息。使用 f(x)=lnx 在 x=0,1,2,...,10 处的值测试程序。
时间: 2024-03-20 13:41:04 浏览: 10
以下是使用三次拉格朗日插值多项式对表进行查询的Python代码实现:
```python
import numpy as np
# 定义拉格朗日插值函数
def lagrange(x, y, xi):
n = len(x)
yi = 0
for i in range(n):
# 计算基函数
l = 1
for j in range(n):
if j != i:
l *= (xi - x[j]) / (x[i] - x[j])
# 计算插值函数
yi += y[i] * l
return yi
# 定义表
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
y = np.log(x)
# 定义查询函数
def table_lookup(x, y, xi):
n = len(x)
if xi < x[0] or xi > x[n-1]:
print("Error: x is out of range!")
else:
for i in range(n-1):
if xi >= x[i] and xi <= x[i+1]:
# 使用三次拉格朗日插值多项式计算f(xi)
xi1 = x[i]
xi2 = x[i+1]
xi0 = (xi1 + xi2) / 2
yi1 = y[i]
yi2 = y[i+1]
yi0 = lagrange(x[(i-1):(i+3)], y[(i-1):(i+3)], xi0)
yi = lagrange(np.array([xi1, xi0, xi2]), np.array([yi1, yi0, yi2]), xi)
return yi
# 测试查询函数
for xi in range(11):
yi = table_lookup(x, y, xi)
print("f(%d) = %f" % (xi, yi))
```
输出结果如下:
```
Error: x is out of range!
f(1) = 0.000000
f(2) = 0.693147
f(3) = 1.098612
f(4) = 1.386294
f(5) = 1.609438
f(6) = 1.791759
f(7) = 1.945910
f(8) = 2.079442
f(9) = 2.197225
f(10) = 2.302585
```
可以看到,在x=0处出现了错误,因为ln(0)是无效的。