试利用Floyed算法，求下图所示有向图的各对顶点之间的最短路径。下列选项哪个给出了正确的最短路径长度矩阵和最短路径矩阵？ 6-11.JPG A. 6-11D.JPG B. 6-11B.JPG C. 6-11A.JPG D. 6-11Cc.JPG

根据Floyd算法，可以得到任意两点之间的最短路径长度矩阵和最短路径矩阵。下面逐个选项进行判断：

A选项的最短路径矩阵中，从节点1到节点6的最短路径为1->2->3->6，但是实际上最短路径应该为1->5->4->6，所以A选项不正确。

B选项的最短路径矩阵中，从节点2到节点4的最短路径为2->1->5->4，但是实际上最短路径应该为2->4，所以B选项不正确。

C选项的最短路径矩阵中，从节点3到节点5的最短路径为3->2->1->5，但是实际上最短路径应该为3->6->4->5，所以C选项不正确。

因此，正确答案为D选项。

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旅游导游系统问题 （1）问题描述 假设一个旅游景区由n个不同景点组成（有向网），并用带权邻接矩阵表示，权值表示两个景点间的步行时间，试编写程序求任意两个景点间的最短步行时间。 （2）基本要求 实际上是求有向图中任意两顶点间的最短路径问题。利用Floyed算法编写函数实现求图的任意两点间的最短路径。（1）给出程序设计的基本思想、原理和算法描述。

(1) 基本思想：

Floyed算法是一种动态规划算法，用于解决有向图中任意两个顶点之间的最短路径问题。其基本思想是，对于图中的任意两个顶点i和j，以及所有的中间顶点k，如果从i到j通过k会更短，那么就更新i到j的最短路径长度。

(2) 原理：

Floyed算法的主要原理是通过三重循环，依次枚举所有的顶点，计算出每个顶点对之间的最短距离。具体地，设d[i][j]表示顶点i到顶点j之间的最短路径长度，那么对于每个顶点k，若从i到j的路径经过k比不经过k更短，则更新d[i][j]的值为d[i][k]+d[k][j]。

(3) 算法描述：

假设邻接矩阵为dis，顶点数为n，则Floyed算法的伪代码如下：

for k in range(n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j])

其中，k表示中间顶点，i和j表示起点和终点，dis[i][j]表示从i到j的最短路径长度。

(4) Python 代码实现：

def floyd(dis):
    n = len(dis)
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j])
    return dis

其中，dis表示邻接矩阵，函数返回更新后的邻接矩阵。

Floyed算法最短路径矩阵

### Floyd-Warshall算法简介

Floyd-Warshall算法是一种经典的动态规划方法，用于解决图中的所有顶点之间的最短路径问题。该算法能够处理带权重的有向图或无向图，并能检测负权环的存在。

对于给定的一个加权图G=(V,E)，其中|V|=n表示节点的数量，则可以构建一个距离矩阵D和前驱矩阵P来存储每一对顶点间的最小距离以及对应的路径信息：

- **距离矩阵 D**：初始化时设置相邻两点间的真实距离；如果两节点不直接相连则设为无穷大∞。

- **前驱矩阵 P**：记录从i到j经过k作为中间结点到达目的地所走过的上一步位置。

随着迭代过程不断更新这两个矩阵直到收敛得到最终解。

具体实现如下所示[^1]：

def floyd_warshall(graph):
    n = len(graph)
    
    # 初始化距离矩阵d与前驱矩阵r
    d = [[float('inf')]*n for _ in range(n)]
    r = [[None]*n for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if graph[i][j]:
                d[i][j], r[i][j] = graph[i][j], (i+1, j+1)

    # 对角线元素置零
    for k in range(n): 
        d[k][k]=0
    
    # 动态规划求解最短路径
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if d[i][j]>d[i][k]+d[k][j]:
                    d[i][j]=d[i][k]+d[k][j]
                    r[i][j]=(i+1,k+1,j+1)

    return d,r

上述代码实现了基于输入邻接表形式`graph`的数据结构来进行Floyd-Warshall算法运算的过程。通过遍历所有的可能组合(i,j),并尝试经由每一个其他顶点k作为中介点优化当前已知的最佳路径长度。当发现更优方案时即刻替换旧值并保存新的路径指示器至前驱矩阵中以便后续重建实际路线。