使用决策树预测波士顿房价理论推导

波士顿房价数据集是一个经典的回归问题，可以使用决策树算法进行预测。

理论推导：

1. 数据集：波士顿房价数据集包含506个样本，每个样本有13个特征，其中包括城镇犯罪率、一氧化氮浓度、住宅平均房间数等。目标是预测房价中位数。

2. 划分训练集和测试集：通常将数据集分为训练集和测试集两部分，用于训练模型和评估模型性能。

3. 决策树：决策树是一种基于树结构的分类和回归算法，能够对数据进行划分和归纳。决策树的节点表示一个特征，分支表示特征的取值，叶子节点表示分类或回归结果。

4. 构建决策树：使用波士顿房价数据集训练决策树模型，选择一个特征作为根节点，将数据集根据该特征分为不同的子集，对每个子集递归地选择下一个特征，直到满足终止条件。在分类问题中，终止条件通常是达到预定深度、样本数量小于某个阈值或者每个叶子节点都属于同一类别。在回归问题中，终止条件通常是达到预定深度、样本数量小于某个阈值或者每个叶子节点的误差小于某个阈值。

5. 预测房价：使用训练好的决策树模型对测试集进行预测，将每个测试样本输入决策树，沿着树结构进行遍历，最终到达叶子节点，该节点的预测值即为模型对该样本的预测结果。

6. 评估模型性能：使用评价指标如均方误差（MSE）或均方根误差（RMSE）评估模型的性能，指标值越低，模型性能越好。

代码实现：

以下是使用Python实现决策树预测波士顿房价的示例代码：

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 加载数据集
boston = load_boston()

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, test_size=0.2, random_state=42)

# 构建决策树模型
model = DecisionTreeRegressor(max_depth=3, random_state=42)
model.fit(X_train, y_train)

# 预测测试集
y_pred = model.predict(X_test)

# 评估模型性能
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
rmse = np.sqrt(mse)
print('RMSE:', rmse)

在上述代码中，使用`load_boston()`函数加载波士顿房价数据集，使用`train_test_split()`函数划分训练集和测试集。使用`DecisionTreeRegressor`类构建决策树模型，指定`max_depth`参数为3表示树的深度不超过3层，使用`fit()`方法训练模型。使用`predict()`方法对测试集进行预测，使用`mean_squared_error()`函数计算均方误差，最终输出均方根误差值作为模型性能的评价指标。