在matlab中使用柯林斯积分进行仿真涡旋光束的衍射

柯林斯积分是一种常用的光学计算方法，可以用于模拟涡旋光束的衍射。下面是一个使用Matlab进行涡旋光束衍射模拟的示例：

首先，我们需要定义涡旋光束的参数，包括振幅、波长、角动量等。例如，定义一个具有 +1 角动量的涡旋光束：

amp = 1; % 振幅
wavelength = 632.8e-9; % 波长
l = 1; % 角动量

接下来，我们需要定义衍射计算的参数，包括采样点数、采样范围、屏幕距离等。例如，定义一个采样 $512 \times 512$ 的平面，距离光源 $10$ 厘米：

N = 512; % 采样点数
L = 0.1; % 采样范围
x = linspace(-L/2,L/2,N); % x 轴采样点
y = linspace(-L/2,L/2,N); % y 轴采样点
[X,Y] = meshgrid(x,y); % 生成网格
D = 10; % 屏幕距离

然后，我们可以使用柯林斯积分计算衍射场。柯林斯积分的计算公式为：

$$U(P) = \frac{i}{\lambda D} \iint_{\Sigma} U(S) e^{ikr} \frac{1}{r} e^{il\phi} dx dy$$

其中，$U(S)$ 是入射光场，$r$ 和 $\phi$ 是 $P$ 和 $S$ 之间的极坐标距离和角度，$k=2\pi/\lambda$ 是波数。

在Matlab中，可以使用以下代码计算柯林斯积分：

k = 2*pi/wavelength; % 波数
U = zeros(N); % 衍射场
for m = 1:N
    for n = 1:N
        r = sqrt((X(m,n))^2 + (Y(m,n))^2 + D^2);
        phi = atan2(Y(m,n), X(m,n));
        U(m,n) = (1i/(k*D)) * integral2(@(x,y) amp*exp(1i*l*atan2(y,x)) .* exp(1i*k*sqrt((X(m,n)-x).^2 + (Y(m,n)-y).^2 + D^2)) ./ sqrt((X(m,n)-x).^2 + (Y(m,n)-y).^2 + D^2), -L/2, L/2, -L/2, L/2);
    end
end

最后，我们可以使用 `imagesc` 函数将衍射场可视化：

figure;
imagesc(x*1e3, y*1e3, abs(U).^2); % 取模平方表示光强
axis image;
xlabel('x (mm)');
ylabel('y (mm)');
title('Vortex Beam Diffraction');

这样就可以模拟涡旋光束的衍射了。完整的代码示例如下：

% 涡旋光束衍射模拟
amp = 1; % 振幅
wavelength = 632.8e-9; % 波长
l = 1; % 角动量

N = 512; % 采样点数
L = 0.1; % 采样范围
x = linspace(-L/2,L/2,N); % x 轴采样点
y = linspace(-L/2,L/2,N); % y 轴采样点
[X,Y] = meshgrid(x,y); % 生成网格
D = 10; % 屏幕距离

k = 2*pi/wavelength; % 波数
U = zeros(N); % 衍射场
for m = 1:N
    for n = 1:N
        r = sqrt((X(m,n))^2 + (Y(m,n))^2 + D^2);
        phi = atan2(Y(m,n), X(m,n));
        U(m,n) = (1i/(k*D)) * integral2(@(x,y) amp*exp(1i*l*atan2(y,x)) .* exp(1i*k*sqrt((X(m,n)-x).^2 + (Y(m,n)-y).^2 + D^2)) ./ sqrt((X(m,n)-x).^2 + (Y(m,n)-y).^2 + D^2), -L/2, L/2, -L/2, L/2);
    end
end

figure;
imagesc(x*1e3, y*1e3, abs(U).^2); % 取模平方表示光强
axis image;
xlabel('x (mm)');
ylabel('y (mm)');
title('Vortex Beam Diffraction');