j_1 = 1/m * (X.transpose() @ (predictions - y))[1:] + (Lambda/m)* theta[1:]中的[1:] 是什么意思

[1:] 表示对 theta 中下标为 1 及其之后的元素进行操作，即去掉 theta 中下标为 0 的元素。这是因为在正则化线性回归中，我们通常不对偏置参数 theta0 进行正则化处理，因为这个参数是用于控制偏移量的，并且一般来说，我们希望它不受正则化的影响。因此，在计算梯度时，我们需要将 theta0 排除在外。在上述公式中，[1:] 就是用于排除 theta0。

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j_1 = 1/m * (X.transpose() @ (predictions - y))[1:] + (Lambda/m)* theta[1:]

这是一个用于计算梯度下降算法中的正则化项的公式，其中：

- `j_1` 是计算出来的梯度下降的结果，也就是更新后的参数值。
- `m` 是样本数量。
- `X` 是一个矩阵，大小为 m * n，其中第 i 行表示第 i 个样本的特征。
- `predictions` 是一个大小为 m 的向量，其中第 i 个元素表示第 i 个样本的预测值。
- `y` 是一个大小为 m 的向量，其中第 i 个元素表示第 i 个样本的真实值。
- `Lambda` 是正则化参数。
- `theta` 是一个大小为 n 的向量，其中第 i 个元素表示第 i 个特征的权重。

这个公式的含义是：对于每个特征 j，计算出在当前参数值下的梯度，然后加上正则化项的影响。其中，正则化项的影响是将 theta[j] 除以 m，然后乘以正则化参数 Lambda。同时，由于我们不想对 theta[0] 进行正则化，所以在计算时要将 theta[0] 的影响去掉。最终得到的结果就是更新后的参数值。

j_1= 1/m * (X.transpose() @ (predictions - y))[1:]+(Lambda/m)* theta[1:]

这是一个用于线性回归中使用正则化的梯度下降算法的公式，其中：

- X 是输入特征矩阵
- y 是输出标签向量
- predictions 是模型对输入的预测值向量
- m 是样本数量
- theta 是模型参数向量
- Lambda 是正则化参数

这个公式的作用是计算模型参数向量的梯度，以便在梯度下降算法中更新参数向量。其中，对于正则化部分，我们使用了 L2 正则化，将模型参数向量中的第一个元素（即偏差项）除外，对其余元素进行正则化。这是为了防止过拟合。