根号一加x平方的积分
时间: 2024-06-12 20:11:06 浏览: 51
根号一加x平方的积分可以用反三角函数求解,具体步骤如下:
1. 先将根号一加x平方拆分成1/(根号一加x平方)和x/(根号一加x平方)两个部分。
2. 对于1/(根号一加x平方)这个部分,可以使用反双曲正切函数arctanh(x)来求解,即∫1/(根号一加x平方)dx=arctanh(x)+C。
3. 对于x/(根号一加x平方)这个部分,可以使用代换法,令u=根号一加x平方,即x=u^2-1,dx=2udu,将原式转化为∫2u^2/(u^2)du=∫2udu=2u^2/2+C=u^2+C=(1+x)^1/2+C。
4. 将两个部分的积分结果相加,即可得到原式的积分结果:∫(1+x)^1/2dx=arctanh(x)+(1+x)^1/2+C。
相关问题
对根号下x的平方减一求积分
可以使用换元法,令 $x=\cosh t$,则 $\mathrm{d}x=\sinh t\,\mathrm{d}t$,同时根据 $\cosh^2t-\sinh^2t=1$,有 $\sqrt{x^2-1}=\sinh t$,于是
$$
\int \sqrt{x^2-1}\,\mathrm{d}x=\int \sinh^2t\,\mathrm{d}t=\int \frac{\cosh 2t-1}{2}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{4}\sinh 2t-\frac{1}{2}t+C.
$$
最后把 $t$ 换成 $x$,得到
$$
\int \sqrt{x^2-1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{4}(x\sqrt{x^2-1}+2\ln|x+\sqrt{x^2-1}|)+C.
$$
计算根号下x-x²的积分
好的,让我给你解答一下。具体步骤如下:
首先,我们可以将根号下x-x²表示成x的函数形式,即:
根号下x-x² = 根号下(1/4 - (x-1/2)²)
然后,我们进行换元,假设 u = x - 1/2,那么当 x = u + 1/2 时,则原积分可化为:
∫根号下x-x² dx = ∫根号下(1/4 - u²) du
接下来,我们可以使用反三角函数公式进行代换,设 u = 1/2 sinθ,则有 du = 1/2 cosθ dθ,同时注意到当 x = 0 时,u = -1/2,当 x = 1 时,u = 1/2,因此积分上下限变为 -π/2 和 π/2,得到:
∫根号下x-x² dx = ∫根号下(1/4 - u²) du
= ∫√(1/4 - (1/2 sinθ)²) (1/2 cosθ) dθ
= 1/2 ∫cos²θ dθ
最后,我们可以使用常用积分公式 ∫cos²θ dθ = (θ + sinθcosθ)/2,得到原积分的答案为:
∫根号下x-x² dx = 1/2 ∫cos²θ dθ = (θ + sinθcosθ)/4 + c
其中,θ 的取值范围为 [-π/2, π/2],而 c 为积分常数。
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