非线性方程组的牛顿迭代法

非线性方程组的牛顿迭代法是一种求解非线性方程组的数值方法。其基本思想是通过不断迭代逼近方程组的解。具体步骤如下[^1][^2]：

1. 首先，我们需要给定一个初始解向量x0。

2. 对于每一次迭代，我们计算当前解向量x的函数值f(x)和雅可比矩阵J(x)。

3. 然后，我们通过求解线性方程组J(x)Δx = -f(x)来计算更新量Δx。

4. 最后，我们更新解向量x = x + Δx，并检查是否满足收敛条件。如果不满足，我们返回第2步继续迭代。

下面是一个使用Python实现非线性方程组的牛顿迭代法的示例代码：

import numpy as np

def newton_method(f, J, x0, tol=1e-6, max_iter=100):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        f_val = f(x)
        J_val = J(x)
        delta_x = np.linalg.solve(J_val, -f_val)
        x = x + delta_x
        if np.linalg.norm(delta_x) < tol:
            break
    return x

# 定义非线性方程组的函数和雅可比矩阵
def f(x):
    return np.array([x**2 + x**2 - 1, x - x**2])

def J(x):
    return np.array([[2*x, 2*x], [1, -2*x]])

# 设置初始解向量
x0 = np.array([1, 1])

# 调用牛顿迭代法求解非线性方程组
solution = newton_method(f, J, x0)

print("Solution:", solution)

这段代码使用了NumPy库来进行矩阵运算和求解线性方程组。在代码中，我们定义了非线性方程组的函数f(x)和雅可比矩阵J(x)，然后使用牛顿迭代法求解方程组。最后，打印出方程组的解。