牛顿迭代法求解非线性方程组

牛顿迭代法是一种常用的求解非线性方程组的方法。其基本思想是利用泰勒级数展开式来逼近非线性方程组的解，并通过迭代不断逼近精确解。

设非线性方程组为 $F(x)=0$，其中 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ 是 $n$ 维向量，$F=(F_1,F_2,\cdots,F_n)^T$ 是 $n$ 个非线性函数组成的向量函数。牛顿迭代法的迭代公式为：

$$
x^{(k+1)}=x^{(k)}-[J_F(x^{(k)})]^{-1}F(x^{(k)})
$$

其中，$J_F(x^{(k)})$ 表示 $F(x)$ 在 $x^{(k)}$ 处的雅可比矩阵，即：

$$
J_F(x^{(k)})=\begin{pmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial x_1}(x^{(k)}) & \frac{\partial F_1}{\partial x_2}(x^{(k)}) & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}(x^{(k)}) \\
\frac{\partial F_2}{\partial x_1}(x^{(k)}) & \frac{\partial F_2}{\partial x_2}(x^{(k)}) & \cdots & \frac{\partial F_2}{\partial x_n}(x^{(k)}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial F_n}{\partial x_1}(x^{(k)}) & \frac{\partial F_n}{\partial x_2}(x^{(k)}) & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial x_n}(x^{(k)})
\end{pmatrix}
$$

牛顿迭代法的精度与初值有关，对于某些非线性方程组，可能存在多个解，初值的选择也会影响迭代结果。因此，在使用牛顿迭代法求解非线性方程组时，需要注意初值的选择及迭代过程中的数值稳定性问题。