牛顿迭代法求解非线性方程组实例与详解

本文档介绍了一个使用C++编写的程序，目的是利用牛顿迭代法求解非线性方程组。牛顿迭代法是一种数值方法，广泛用于寻找函数零点或方程组的解，尤其对于连续可微的系统。在提供的代码中，我们看到以下几个关键部分： 1. 定义常量和数组： - `N2` 表示方程组中未知数的数量，这里是2*N个。 - `Epsilon0` 是一个非常小的正数（0.0001），作为迭代终止的误差阈值。 - `Max100` 设置了最大迭代次数为100次。 2. 主函数 (`main`)： - 输入初始近似解向量 `x0` 和 `y0`，这里设定为 `x0 = {2.0, 0.25}`。 - 循环进行迭代，直到达到指定的精度或达到最大迭代次数。 - 在每次迭代中，调用 `ff()` 函数计算方程组的值，`ffjacobian()` 函数求解雅可比矩阵（Jacobian）的值，`inv_jacobian()` 计算雅可比矩阵的逆，`newdundiedai()` 进行牛顿法的核心更新步骤。 - 计算当前迭代的残差（误差），如果小于 `Epsilon`，则停止迭代，返回0表示成功。 3. 函数 `ff()` 和 `ffjacobian()`： - `ff()` 函数计算非线性方程组的函数值 `yy`，给定输入 `xx`，即 `yy[0] = x^2 - 2x - y + 0.5` 和 `yy[1] = x^2 + 4y^2 - 4`。 - `ffjacobian()` 函数计算雅可比矩阵，即方程组每个方程关于每个未知数的导数构成的矩阵。 4. `inv_jacobian()` 函数： - 对雅可比矩阵 `jacobian` 进行求逆操作，得到逆雅可比矩阵 `invjacobian`，这对于牛顿迭代法非常重要，因为它用于求解系统的线性化问题。 5. `newdundiedai()` 函数： - 这是牛顿迭代的核心步骤，它利用当前点的信息（包括函数值和雅可比矩阵）来找到新的近似解 `x1`。 通过这段代码，用户可以实现牛顿迭代法求解给定的非线性方程组，这是一种迭代优化技术，通过逼近方程组的局部切线，逐步接近精确解。在实际应用中，这种方法对于工程、物理和经济等领域的复杂模型求解具有很高的实用价值。