牛顿迭代法求解非线性方程组

牛顿迭代法是一种求解非线性方程组的有效方法。其基本思想是通过不断逼近非线性方程组的根，直到满足预设的精度要求。

以二元非线性方程组为例，假设方程组如下：
$$
\begin{cases}
f(x,y) = 0 \\
g(x,y) = 0
\end{cases}
$$

设 $(x_n,y_n)$ 是方程组的一个近似解，那么我们可以利用泰勒展开式对方程组进行线性化，得到如下的近似方程组：
$$
\begin{cases}
f(x_n,y_n) + f_x(x_n,y_n)(x-x_n) + f_y(x_n,y_n)(y-y_n) = 0 \\
g(x_n,y_n) + g_x(x_n,y_n)(x-x_n) + g_y(x_n,y_n)(y-y_n) = 0
\end{cases}
$$

其中 $f_x(x_n,y_n)$ 表示 $f$ 对 $x$ 在 $(x_n,y_n)$ 处的偏导数，$f_y(x_n,y_n)$ 表示 $f$ 对 $y$ 在 $(x_n,y_n)$ 处的偏导数，$g_x(x_n,y_n)$ 和 $g_y(x_n,y_n)$ 同理。

将上述近似方程组中的 $x$ 和 $y$ 分别用 $x_{n+1}$ 和 $y_{n+1}$ 表示，则有：
$$
\begin{cases}
f(x_n,y_n) + f_x(x_n,y_n)(x_{n+1}-x_n) + f_y(x_n,y_n)(y_{n+1}-y_n) = 0 \\
g(x_n,y_n) + g_x(x_n,y_n)(x_{n+1}-x_n) + g_y(x_n,y_n)(y_{n+1}-y_n) = 0
\end{cases}
$$

将上述方程组看作关于 $(x_{n+1}-x_n,y_{n+1}-y_n)$ 的非线性方程组，可以使用牛顿迭代法求解，即：
$$
\begin{bmatrix}
f_x(x_n,y_n) & f_y(x_n,y_n) \\
g_x(x_n,y_n) & g_y(x_n,y_n)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{n+1}-x_n \\
y_{n+1}-y_n
\end{bmatrix}
=
-\begin{bmatrix}
f(x_n,y_n) \\
g(x_n,y_n)
\end{bmatrix}
$$

解出 $(x_{n+1}-x_n,y_{n+1}-y_n)$ 后，更新近似解 $(x_n,y_n)$：
$$
\begin{cases}
x_{n+1} = x_n + (x_{n+1}-x_n) \\
y_{n+1} = y_n + (y_{n+1}-y_n)
\end{cases}
$$

不断重复上述迭代过程，直至满足预设的精度要求。