仿照分治算法中两个大整数相乘的算法策略,完成求解两个n×n阶的矩阵A与B的乘积的运算。n=2k,要求算法复杂度要小于O(n3)。代码
时间: 2024-09-30 11:02:56 浏览: 29
矩阵乘法通常采用分治算法的策略来降低时间复杂度,特别是当使用Strassen's Matrix Multiplication Algorithm(斯特森矩阵乘法)。这个算法利用了7个子矩阵的计算,将原问题分解成规模较小的问题,通过递归的方式解决。
首先,我们需要了解基本的矩阵乘法规则:两个m×n矩阵C=A*B,其中每个元素c[i][j]等于A的所有行i与B的所有列j对应元素之和。对于n=2k,我们可以将矩阵A和B分别划分为4个大小为n/2×n/2的子矩阵。
斯特森算法步骤如下:
1. 将A和B划分为四个子矩阵:
A = [[A11, A12], [A21, A22]]
B = [[B11, B12], [B21, B22]]
2. 计算七个子矩阵:
- P1 = A11 * B11 + A12 * B22
- P2 = A11 * B21 + A12 * B22
- P3 = A21 * B11 + A22 * B12
- Q1 = A11 * (B11 - B22)
- Q2 = (A11 + A22) * B21
- Q3 = A22 * (B11 - B22)
3. 使用上述子矩阵计算结果生成新的矩阵:
C = [[P1+Q2-Q3, P2+Q1], [P4+Q3, P3+Q2]]
4. 对于每个子矩阵,如果它们的大小仍大于1,递归地应用相同的算法,直到子矩阵大小为1(此时可以直接相加)。
斯特森算法的时间复杂度理论上下限可以达到O(n^log2(7)) ≈ O(n^{2.807...}),比标准的O(n^3)更优。以下是简单的Python伪代码版本:
```python
def strassen(A, B):
n = len(A)
if n <= 1:
return A * B
# ...(按照上述步骤划分、计算和组合子矩阵)
# 调用strassen并传递矩阵A和B
result = strassen(A, B)
```