MATLAB拟牛顿法BFGS的代码

MATLAB中的拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)算法是一种常用的优化工具箱中的无约束优化技术。这个算法用于寻找函数的局部最小值，其特点是通过构建并更新Hessian矩阵的近似来迭代求解。以下是简化的BFGS算法示例：

function [x, fval] = bfgs(fcn, x0, options)
% BFGS: 使用BFGS算法求解最小化非线性函数
% fcn: 目标函数
% x0: 初始点
% options: 可选参数，如最大迭代次数、精度等

if nargin < 3 || isempty(options)
    options = optimoptions(@fminunc,'Algorithm','quasi-newton','Display','iter');
end

x = x0; % 初始化变量
fval = fcn(x); % 计算初始值
history = struct('x', x, 'grad', gradient(fcn,x)); % 搜索历史记录

% 主循环
for iter = 1:options.MaxIter
    % 计算梯度
    grad = gradient(fcn,x);
    
    % BFGS 更新步骤
    H = history.H; % 当前Hessian矩阵近似
    if ~isempty(H)
        dx = -inv(H)*grad;
    else
        % 首次迭代或Hessian矩阵为空，使用单位矩阵作为初始近似
        dx = -grad;
    end
    
    % 更新搜索方向和步长
    alpha = 1;
    while true
        x_new = x + alpha*dx;
        fval_new = fcn(x_new);
        
        % 牛顿步长度接受准则
        if fval_new <= fval + alpha*dot(grad, dx) / 2
            break;
        end
        
        % 减小步长并继续尝试
        alpha /= 2;
    end
    
    % 更新历史记录
    history.x = x_new;
    history.grad = grad;
    
    % 更新Hessian矩阵
    if ~isempty(H)
        % BFGS公式更新Hessian
        P = eye(size(dx)) + alpha*outer(dx, grad') - alpha*(dx'*grad)*H;
        H = inv(P)*H*P + outer(dx,dx')/(1+alpha*dx'*grad);
    else
        % 第一次迭代直接存储梯度
        H = outer(grad,grad);
    end
    
    % 更新变量
    x = x_new;
    fval = fval_new;
    
    % 显示进度信息
    disp(['Iteration ', num2str(iter), ': f = ', num2str(fval)]);
    
    % 检查停止条件
    if abs(grad) < options.TolFun * max(1,abs(x))
        break; % 函数值收敛
    end
end

% 结果返回
[x, fval]

这个代码片段展示了基本的BFGS算法流程，包括梯度计算、搜索方向更新、Hessian矩阵的更新以及收敛检查。实际应用中，你需要替换`fcn`为你需要优化的具体函数。