灰色预测模型公式推导
时间: 2023-11-27 17:47:55 浏览: 47
根据提供的引用内容,灰色预测模型是一种小样本预测方法,可以用于外部预测。下面是灰色预测模型的公式推导过程:
1. GM(1,1)模型基本形式:
$$x^{(1)}(k)=a\cdot x^{(0)}(k)+b$$
其中,$x^{(0)}(k)$为原始数据,$x^{(1)}(k)$为累加生成数列,$a$和$b$为待求参数。
2. 累加生成数列的一次累加:
$$x^{(1)}(k)=\sum_{i=1}^k x^{(0)}(i)$$
3. 对累加生成数列做一次微分:
$$\Delta x^{(1)}(k)=x^{(1)}(k)-x^{(1)}(k-1)=x^{(0)}(k)$$
4. 对$\Delta x^{(1)}(k)$做紧邻均值生成序列:
$$z^{(1)}(k)=\frac{1}{2}[\Delta x^{(1)}(k)+\Delta x^{(1)}(k-1)]$$
5. 求$z^{(1)}(k)$的累加生成数列:
$$z^{(2)}(k)=\sum_{i=1}^k z^{(1)}(i)$$
6. 求$x^{(1)}(k)$的估计值:
$$\hat{x}^{(1)}(k+1)=\frac{x^{(0)}(1)-\frac{b}{a}}{a}(1-e^a)+\frac{b}{a}$$
7. 求$x^{(0)}(k+1)$的预测值:
$$\hat{x}^{(0)}(k+1)=x^{(0)}(1)-\hat{x}^{(1)}(k+1)$$
8. 求残差:
$$e(k)=x^{(0)}(k)-\hat{x}^{(0)}(k)$$
9. 求$a$和$b$:
$$a=-\frac{z^{(2)}(n)z^{(1)}(1)}{z^{(1)}(n)z^{(2)}(1)-z^{(1)}(1)z^{(2)}(n)}$$
$$b=\frac{x^{(0)}(1)-\hat{x}^{(0)}(1)}{a}$$
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