如何使用格里高利公式求给定精度的PI值

格里高利公式，也称为莱布尼茨公式，是一种用于计算圆周率π的无限级数，其表达式是这样的：

\[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \ldots \]

这个级数的特点是正负交替，并且每一项的分母是奇数，分子永远为1。为了使用此公式得到特定精度的π值，你需要执行以下步骤：

1. **初始化**：设置π的初始估计值为 \( \frac{\pi}{4} \) 和误差限，通常选择一个小于所需精度的值。

2. **迭代**：从第2项开始，依次计算每一项的绝对值并加到当前π的估计值上，然后改变符号。例如，第一次加的是 \(-\frac{1}{3}\)，第二次加的是 \(\frac{1}{5}\)，以此类推。

3. **判断收敛**：当连续几轮加减后的变化小于预设的误差限时，认为级数已经足够精确，停止计算。可以设定一个阈值，比如0.00001，作为判断是否达到所需精度的标准。

4. **结果调整**：由于我们只取了 \(\frac{\pi}{4}\)，所以最后的结果需要乘以4来获得π的近似值。

下面是一个简单的Python示例，演示如何使用格里高利公式计算π的近似值：

def compute_pi(n_terms, error_threshold):
    pi_4 = 1
    numerator = 1
    denominator = 1
    term = numerator / denominator

    for _ in range(1, n_terms):
        pi_4 += (-1)**(_+1) * term
        denominator += 2
        term = numerator / denominator

    return 4 * pi_4 if abs(pi_4 - last_computed_value) < error_threshold else None

# 示例：计算1000项的π值
last_computed_value = None
accuracy = 1e-6
approximate_pi = compute_pi(1000, accuracy)