傅里叶变换和反傅里叶变换

### 傅里叶变换与反傅里叶变换概念

傅里叶变换是一种线性积分运算，用于将时间域中的信号转换到频域中表示。通过这种变换方法，可以揭示出原始信号是由哪些不同频率成分构成的[^1]。

对于连续时间函数 \(f(t)\)，其傅里叶正变换定义如下：

\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)e^{-j\omega t}}dt\]

而对应的逆变换则为：

\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{F(\omega)e^{j\omega t}}d\omega\]

当涉及到离散时间序列时，则采用离散形式——即离散傅里叶变换(DFT)及其逆变换(IDFT)[^2]。

### 数字信号处理中的应用实例

在数字信号处理领域内，傅里叶变换有着广泛的应用场景。例如，在音频压缩技术中，通过对声音波形执行快速傅里叶变换(FFT),可得到该音轨所含有的各个频率分量的信息；之后再利用这些数据去除冗余部分实现高效编码[^4]。

另外，在图像识别方面也经常运用二维DFT来提取特征向量作为模式匹配的基础。这是因为自然界的大多数现象都遵循叠加原理，因此能够很好地适应于基于频谱特性的分类算法设计需求[^3]。

import numpy as np
from scipy.fft import fft, ifft

# 创建一个简单的测试信号
t = np.linspace(0, 1, 200)
signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * t)

# 执行傅里叶变换并绘制结果
transformed_signal = fft(signal)

# 对变换后的信号执行反傅里叶变换恢复原信号
recovered_signal = ifft(transformed_signal).real