GMRES重启的MATLAB函数

GMRES（Generalized Minimal Residual）是一种常用的迭代求解线性系统的方法，尤其适用于大规模稀疏矩阵。在MATLAB中，可以使用内置的`gmres`函数来实现GMRES算法。`gmres`函数的工作流程通常是这样的：

1. 它接受两个输入：一个系数矩阵`A`（通常需要是矩阵），以及一个向量`b`，这是你要解的线性方程组`Ax = b`。

2. 函数需要一个初始猜测值`x0`作为迭代的起点。如果你不知道一个好的起始点，可以传入零向量。

3. 还有一些可选参数，例如最大迭代次数`maxIter`、精度门槛`Tol`（如果迭代过程中残差小于这个阈值就认为找到了解）、是否显示进度信息等。

4. `gmres`会返回一个向量，它是迭代过程中的最佳近似解，以及一个向量，记录了每次迭代的残差。

5. 如果需要重启（Restarting），即当达到预设的最大迭代次数仍未达到目标精度时，可能会终止当前迭代并重新开始一个新的GMRES循环，这称为"restart strategy"，可以帮助避免内存溢出和保持计算效率。

如果你想要使用GMRES重启策略，可以在`gmres`函数调用时设置合适的重启周期，比如加上额外的参数`_restart`。例如：

[x, res, info] = gmres(A, b, 'InitialGuess', x0, 'MaxIter', maxIter, 'Tol', Tol, 'Restart', restartPeriod);

相关问题

GMRES重启的MATLAB函数，非内置函数

GMRES (Generalized Minimal Residual) 是一种迭代求解线性方程组的有效算法，特别是在大型稀疏矩阵的问题上。在 MATLAB 中，虽然没有内置的 GMRES 重启（Restarted GMRES）函数，但是可以使用 `gmres` 函数结合自定义循环来实现重启机制。

GMRES 本身是一个迭代过程，它并不保证每次都能收敛，所以为了防止过度迭代并提高效率，通常会设置一个最大迭代次数，并当迭代次数达到预设值后停止。重启 GMRES 就是在每一轮迭代完成之后，重新初始化部分向量，这样做的目的是保持解的精度并且控制内存消耗。

在 MATLAB 中，你可以按照以下步骤创建一个简单的 GMRES 重启函数：

function [x, info] = restartGMRES(A, b, maxIter, restartCount)
% A: 系数矩阵
% b: 右手项
% maxIter: 总的最大迭代次数
% restartCount: 重启间隔

[x, ~, flag] = gmres(A, b, maxIter);
if flag == 'converged'
    % 如果已经收敛，无需重启
    return;
end

restartIndex = ceil(maxIter / restartCount); % 计算重启点
x(1:restartIndex:end) = x; % 保留每个重启间隔的向量部分
% 接着继续下一轮 GMRES 迭代，从上次保存的位置开始
[x(1+restartIndex:end), info] = gmres(A, b, maxIter - restartIndex * flag, 'Resvec', x(restartIndex:end));
end

在这个自定义函数中，`maxIter` 是总迭代次数，`restartCount` 指定了每隔多少次迭代就重启一次。注意这只是一个基础示例，实际应用中可能还需要处理更多细节，例如存储中间结果、错误检查等。

GMRES重启的MATLAB程序详细版

GMRES（Generalized Minimal RESidual）是一种用于求解大规模线性系统Ax=b的迭代算法，尤其适用于那些矩阵A是稀疏并且条件数较大的情况。在MATLAB中，GMRES可以通过`gmres`函数来实现。以下是GMRES算法在MATLAB中使用的一种常见步骤的详细版本：

1. **导入所需的库**:

   load('your_matrix.m') % 假设你的矩阵已经保存在一个文件中
   b = ...; % 定义你的右端向量b

2. **初始化GMRES**:

   options = optimoptions('gmres', 'Display','none'); % 创建一个选项结构，隐藏迭代过程的显示
   [x,G] = gmres(A, b, [], [], options); % G是残差历史，x是猜测的解

`[]`和`[]`代表初始猜测和终止条件（这里通常留空），如果需要可以设置。

3. **重启GMRES（Restart策略）**:
GMRES有时会因内存限制而需要重启，特别是对于非常大的系统。重启是指在达到预设的最大迭代次数或内部积累的误差超过某个阈值后，清除当前迭代信息并从头开始新的迭代过程。在MATLAB中，你可以通过`restart`选项来启用重启策略：

   options.Restart = N; % 设置重启周期，例如每10次迭代重启一次（N=10）

4. **运行GMRES并获取结果**:

   x_restarted, res_restarted = gmres(A, b, [], [], options);

`x_restarted`是重启后的解决方案，`res_restarted`是对应的残差。

5. **评估结果**:
可以检查解的质量，如残差和解的逼近程度：

   resid = norm(b - A*x_restarted); % 计算残差