simple算法 压力修正方程

SIMPLE算法是一种求解流体力学问题的数值方法，其中压力修正方程是该算法的核心部分。其基本思想是通过对速度场和压力场的迭代求解，得到稳定的流场解。压力修正方程是通过对连续性方程进行离散化得到的，其主要作用是修正速度场和压力场之间的耦合关系，使得速度场和压力场能够同时满足连续性方程和动量方程。

压力修正方程的求解步骤如下：
1. 对连续性方程进行离散化，得到离散的连续性方程。
2. 对动量方程进行离散化，得到离散的动量方程。
3. 将离散的连续性方程和离散的动量方程联立，得到一个关于速度场和压力场的线性方程组。
4. 对该线性方程组进行迭代求解，得到速度场和压力场的修正值。
5. 将修正值代入原始的速度场和压力场中，得到新的速度场和压力场。
6. 重复以上步骤，直到速度场和压力场收敛为止。

在求解压力修正方程时，需要求解动量方程离散系数，其中ae表示动量方程离散系数。其求解方法是通过对动量方程进行离散化，得到一个关于速度场和压力场的线性方程组，然后将该线性方程组转化为矩阵形式，通过高斯消元法或LU分解法求解得到。

下面是一个简单的Python代码示例，用于求解一维流动控制方程：

import numpy as np

# 定义参数
L = 1.0  # 管道长度
N = 10  # 离散点数
dx = L / N  # 离散步长
mu = 0.01  # 粘度系数
rho = 1.0  # 密度
u_in = 1.0  # 入口速度
u_out = 0.0  # 出口速度
P_in = 1.0  # 入口压力
P_out = 0.0  # 出口压力

# 初始化速度场和压力场
u = np.zeros(N+1)
P = np.zeros(N+1)

# 迭代求解
for n in range(100):
    # 求解动量方程离散系数
    ae = np.zeros(N+1)
    aw = np.zeros(N+1)
    ap = np.zeros(N+1)
    for i in range(1, N):
        ae[i] = -mu / rho / dx**2
        aw[i] = -mu / rho / dx**2
        ap[i] = rho / dt + 2 * mu / rho / dx**2
    ae[0] = 0
    aw[N] = 0
    ap[0] = 1
    ap[N] = 1

    # 求解压力修正方程
    b = np.zeros(N+1)
    for i in range(1, N):
        b[i] = rho / dt * u[i] - (P[i+1] - P[i]) / dx
    b[0] = u_in
    b[N] = u_out
    u_new = np.linalg.solve(ap, b)
    P_new = P + 1.0 / ae * (u_new - u)

    # 更新速度场和压力场
    u = u_new
    P = P_new

# 输出结果
print(u)
print(P)