softmax函数及其求导

softmax函数是一种常用的数学函数，特别是在深度学习中，特别是在概率分类任务中非常常见，如神经网络的输出层。softmax函数的主要作用是将一组数值映射到0到1之间，并且所有输出值的和为1，从而表示概率分布。它的形式通常表示为：

对于输入向量 \( x = (x_1, x_2, ..., x_n) \)，softmax函数计算每个元素的概率分布如下：

\[ softmax_i(x) = \frac{e^{x_i}}{\sum_{j=1}^{n} e^{x_j}} \]

其中 \( e \) 是自然对数的底数，\( i \) 是第 \( i \) 个元素。

softmax函数求导也很关键，因为在优化过程中通常需要梯度来更新模型参数。softmax函数的导数（即对其输入的偏导数）相对简单，因为它的导数只与被激活的元素自身有关，不与其他元素相互影响。具体地，对于 \( softmax_i(x) \)，其偏导数为：

\[ \frac{\partial}{\partial x_i} softmax_i(x) = softmax_i(x) \cdot (1 - softmax_i(x)) \]

这被称为“softmax的归一化性质”，使得在反向传播（backpropagation）过程中计算出的梯度可以直接用于更新模型权重。

相关问题

softmax函数求导

为了回答你的问题，我将引用、和的内容。softmax函数的求导可以通过链式法则进行计算。首先，我们需要知道softmax函数的定义是:

softmax(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum^n_{j=1}e^{z_j}}

其中，z_i是第i个输出节点的值，n是输出节点的个数。softmax函数的目的是将多分类的输出值转换为[0, 1]范围内且和为1的概率分布。

现在我们来计算softmax函数的导数。假设我们要计算对第k个输出节点的导数，即 \frac{\partial softmax}{\partial z_k}。根据链式法则，我们可以得到如下结果:

\frac{\partial softmax}{\partial z_k} = \frac{\partial}{\partial z_k} \left( \frac{e^{z_k}}{\sum^n_{j=1}e^{z_j}} \right)

为了简化计算，我们先计算分子部分 e^{z_k} 的导数。根据指数函数的导数公式，我们有:

\frac{\partial}{\partial z_k} e^{z_k} = e^{z_k}

接下来，我们计算分母部分 \sum^n_{j=1}e^{z_j} 的导数。由于该部分对所有的 z_i 都有贡献，我们需要对每个 z_i 求导并求和。根据中提到的原因，我们需要对所有的输出节点 S 进行求导。因此，我们有:

\frac{\partial}{\partial z_k} \left( \sum^n_{j=1}e^{z_j} \right) = \sum^n_{j=1} \frac{\partial}{\partial z_k} e^{z_j} = \sum^n_{j=1} e^{z_j}

将分子和分母的导数结果带入到 softmax 函数的导数公式中，我们可以得到:

\frac{\partial softmax}{\partial z_k} = \frac{e^{z_k}}{\sum^n_{j=1}e^{z_j}} - \frac{e^{z_k}}{\left( \sum^n_{j=1}e^{z_j} \right)^2} \sum^n_{j=1} e^{z_j}

简化这个表达式我们有:

\frac{\partial softmax}{\partial z_k} = \frac{e^{z_k}}{\sum^n_{j=1}e^{z_j}} \left( 1 - \frac{e^{z_k}}{\sum^n_{j=1}e^{z_j}} \right)

这就是 softmax 函数对第 k 个输出节点的导数表达式。通过这个导数表达式，我们可以计算 softmax 函数在神经网络中的反向传播过程中的梯度。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *3* [softmax及其求导过程](https://blog.csdn.net/u014453898/article/details/108435173)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* [softmax及函数求导](https://blog.csdn.net/qq_41357569/article/details/120410841)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
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交叉熵代价函数(损失函数)及其求导推导

交叉熵代价函数是在分类问题中常用的一种损失函数，它的定义如下：

$$
J = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{C}y_j^{(i)} \log\left(\hat{y}_j^{(i)}\right) + (1-y_j^{(i)}) \log\left(1-\hat{y}_j^{(i)}\right)
$$

其中，$m$是样本数量，$C$是分类数，$y_j^{(i)}$是第$i$个样本的第$j$个类别的真实标签，$\hat{y}_j^{(i)}$是模型预测的第$j$个类别的概率。

对于交叉熵代价函数的求导推导，我们需要分别对$\hat{y}_j^{(i)}$和$1-\hat{y}_j^{(i)}$求导。

首先，对$\hat{y}_j^{(i)}$求导，有：

$$
\frac{\partial J}{\partial \hat{y}_j^{(i)}} = -\frac{1}{m}\left(\frac{y_j^{(i)}}{\hat{y}_j^{(i)}} - \frac{1-y_j^{(i)}}{1-\hat{y}_j^{(i)}}\right)
$$

接着，对$1-\hat{y}_j^{(i)}$求导，有：

$$
\frac{\partial J}{\partial (1-\hat{y}_j^{(i)})} = -\frac{1}{m}\left(\frac{1-y_j^{(i)}}{1-\hat{y}_j^{(i)}} - \frac{y_j^{(i)}}{\hat{y}_j^{(i)}}\right)
$$

最终，将两个导数合并，可得到交叉熵代价函数对$\hat{y}_j^{(i)}$的导数：

$$
\frac{\partial J}{\partial \hat{y}_j^{(i)}} = -\frac{1}{m}\left(\frac{y_j^{(i)}}{\hat{y}_j^{(i)}} - \frac{1-y_j^{(i)}}{1-\hat{y}_j^{(i)}}\right)
$$

除此之外，如果你使用的是softmax作为输出层，那么交叉熵损失函数的导数可以更简洁的表示为：

$$
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}}=\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y}
$$

其中，$\mathbf{z}$是softmax层的输入，$\mathbf{y}$是真实标签，$\hat{\mathbf{y}}$是模型预测的概率分布。