arma(2,1)的格林函数

ARMA(2,1)模型是一种自回归滑动平均模型，它包括二阶自回归和一阶滑动平均项。该模型的表达式为：

Y_t = c + ϕ_1 * Y_(t-1) + ϕ_2 * Y_(t-2) + ε_t + θ_1 * ε_(t-1)

其中，Y_t 是时间序列的当前观测值，c 是常数，ϕ_1 和 ϕ_2 是自回归系数，ε_t 是当前的随机误差项，θ_1 是滑动平均系数。

格林函数（Green's function）在数学和物理学中常用于描述线性定常系统的反应或响应。在时间序列分析中，格林函数可以用于表示ARMA模型的冲激响应，即在给定一个单位冲激输入时系统输出的序列。

对于ARMA(2,1)模型，我们可以进行如下计算：

首先，假设在时间 t=0 时给定一个单位的冲激输入，即 Y_0 = 1，其它时刻的输入为零。

根据ARMA(2,1)模型的表达式，可以得到：

Y_1 = c + ϕ_1 * Y_0 + ϕ_2 * Y_(0-1) + ε_1 + θ_1 * ε_(1-1)
= c + ϕ_1 * 1 + ϕ_2 * 0 + ε_1 + θ_1 * ε_0
= c + ϕ_1 + ε_1 + θ_1 * ε_0

然后，我们可以继续计算 Y_2，以此类推：

Y_2 = c + ϕ_1 * Y_1 + ϕ_2 * Y_(1-1) + ε_2 + θ_1 * ε_(2-1)
= c + ϕ_1 * (c + ϕ_1 + ε_1 + θ_1 * ε_0) + ϕ_2 * 1 + ε_2 + θ_1 * ε_1
= c * (1 + ϕ_1) + ϕ_1^2 + ϕ_1 * ε_1 + ϕ_1 * θ_1 * ε_0 + ϕ_2 + ε_2 + θ_1 * ε_1

以此类推，我们可以得到 ARMA(2,1) 模型的格林函数，其中包含了时间序列未来各个时刻的响应。总的来说，格林函数可以帮助我们理解系统对冲激输入的反应，并对时间序列的未来走势进行预测。