diffusion加的高斯噪声

### 扩散模型中添加高斯噪声的作用

在扩散模型中，添加高斯噪声是一个核心操作。这一过程有助于逐步破坏输入数据的信息结构，从而使得模型能够学习如何逆向恢复这些被破坏的数据[^1]。

具体来说，通过逐渐增加的高斯噪声扰动，可以使原本复杂的分布变得简单化，最终接近于标准正态分布。这种机制允许模型在一个可控的方式下探索数据的空间变化特性，并学会从纯随机噪声重建出有意义的数据样本。此过程中引入的不同层次的噪声模拟了多种可能存在的不确定性因素，增强了模型对于各类干扰条件下的鲁棒性和泛化能力[^2]。

### 实现方法

为了实现上述目标，在实践中通常采用如下方式来加入高斯噪声：

#### 前向扩散过程
定义一系列的时间步$t$，其中$t=0, ..., T$；随着$t$的增长，所加上的噪声强度也随之增大。每一步骤的具体做法是在当前状态$x_t$的基础上叠加一个服从$\mathcal{N}(0,\beta_t)$分布的小幅度增量$\epsilon_t$作为新的状态$x_{t+1}$:

$$ x_{t+1} = \sqrt{(1-\beta_t)}x_t+\sqrt{\beta_t}\cdot\epsilon_t $$

这里$\beta_t$代表的是方差系数，它决定了每一时刻应该施加多大程度的扰动效果。随着时间推移，累积起来的效果就是让初始信号慢慢退化直至完全淹没在背景噪音之中[^3]。

import numpy as np

def add_gaussian_noise(x_0, beta_schedule):
    """
    向给定的数据点序列添加渐增式的高斯白噪声
    
    参数:
        x_0 (np.ndarray): 初始干净数据
        beta_schedule (list or array-like): 方差调度表
        
    返回:
        list of np.ndarrays: 不同时间戳对应的含噪版本
    """
    noisy_samples = []
    current_sample = x_0.copy()
    
    for t, beta in enumerate(beta_schedule):
        noise = np.random.normal(loc=0., scale=np.sqrt(beta), size=current_sample.shape)
        next_sample = np.sqrt(1-beta)*current_sample + noise
        noisy_samples.append(next_sample)
        
        # 更新用于下一阶段传播的状态变量
        current_sample = next_sample
        
    return noisy_samples

在这个例子中，`add_gaussian_noise` 函数接收一组原始数据 `x_0` 和预设好的 $\beta$ 调度列表，返回经过逐次污染后的各期观测值集合。注意这里的 $\beta$ 序列应当精心设计以确保平稳过渡而不至于过早丧失细节信息。