matlab plot 突变点

### 使用MATLAB进行贝叶斯突变检测并绘图

#### 准备工作
为了在MATLAB中有效地检测和绘制数据序列中的突变点，可以采用基于贝叶斯理论的方法。这种方法能够提供关于潜在突变位置及其可能性的信息[^1]。

#### 实现原理
贝叶斯突变检测的核心在于通过构建合适的先验分布以及似然函数来评估不同假设下观测到的数据的可能性。对于每一个可能的时间点t作为候选突变时刻，计算该时间之前后的统计特性差异，并利用贝叶斯定理更新后验概率。最终得到一系列表示各处发生突变几率大小的数值向量[^3]。

#### MATLAB代码实例
下面是一个简单的例子展示如何编写MATLAB脚本来执行上述过程：

% 生成测试用随机漫步序列加上一段异常变化部分模拟实际场景下的信号
rng('default'); % 设置随机种子以便重复实验结果
n = 500;         % 数据长度
data = cumsum(randn(n, 1));    % 正常波动成分
changePointIndex = round(n/2); % 设定人为制造的一个突变点索引号
data(changePointIndex:end) = data(changePointIndex:end)+cumsum(randn(n-changePointIndex+1, 1)*5);

figure;
subplot(2,1,1);
plot(data,'b.');
title('原始数据');

% 开始实施贝叶斯突变分析...
logLikelihoodRatio = zeros(size(data));
for i=2:length(data)-1
    logPriorChangeAtI = -inf;      % 初始化当前位移前的累积对数似然比为负无穷大
    
    % 计算前后两段子样本集的标准差估计值
    sigmaBeforeEstimate = std(data(1:i), [], 'omitnan');
    sigmaAfterEstimate  = std(data(i+1:end),[],'omitnan');
    
    % 对数转换避免浮点运算溢出风险
    logPosteriorProbOfNoChangeGivenDataUpToNow = ...
        sum(log(normpdf(data(1:i), mean(data(1:i)), sigmaBeforeEstimate)));
    logPosteriorProbOfChangeGivenDataUpToNow   = ...
        sum(log(normpdf(data(i+1:end),mean(data(i+1:end)),sigmaAfterEstimate)));

    % 更新当前位置i处存在突变事件发生的最大后验概率对应的对数似然比率
    [~, maxLogLRIdx] = max([logPriorChangeAtI,...
                            logPosteriorProbOfChangeGivenDataUpToNow-logPosteriorProbOfNoChangeGivenDataUpToNow]);
    logLikelihoodRatio(i) = (-maxLogLRIdx==1)*(-Inf)+(maxLogLRIdx~=1)*(logPosteriorProbOfChangeGivenDataUpToNow-logPosteriorProbOfNoChangeGivenDataUpToNow);
end

% 绘制突变分数曲线
subplot(2,1,2);
plot(exp(logLikelihoodRatio),'r','LineWidth',2);
hold on;
plot(find(islocalmin(exp(logLikelihoodRatio))),'k*');
xlabel('Time Index');
ylabel('Probability of Change Point Occurring Here');
title('Bayesian Changepoint Detection Results with Exponential Transformation and Local Minima Highlighted as Potential Points');
legend({'Exp(Log-Likelihood Ratio)','Detected Change Points'},'Location','BestOutside')

此段代码首先创建了一个含有明显跳跃特征的人工合成数据集用于演示目的；接着按照描述的方式逐个考察各个时间节点上是否存在显著改变的趋势，并记录相应的证据强度（即对数似然率）。最后一步则是将这些得分可视化出来，同时标记那些被识别出来的局部极小值点作为疑似突变的位置提示给用户查看。