将y（t）=t*exp（-t）.*（t>0）用fourier变换

首先，我们可以将 $y(t)$ 表示为卷积形式：
$$
y(t) = t\exp(-t)\cdot u(t) = \int_{-\infty}^{\infty}t\exp(-t) \delta(t-\tau) d\tau
$$
其中 $u(t)$ 是单位阶跃函数，$\delta(t)$ 是单位冲激函数。

对上式两边同时做 Fourier 变换可得：
$$
\begin{aligned}
Y(\omega) &= \mathcal{F}\{y(t)\} \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty} t\exp(-t) \delta(t-\tau) d\tau\right] e^{-j\omega t} dt \\
&= \int_{0}^{\infty} t\exp(-t) e^{-j\omega t} dt \\
&= \int_{0}^{\infty} t e^{-(1+j\omega)t} dt \\
&= \frac{1}{(1+j\omega)^2}
\end{aligned}
$$
其中在第二步利用了卷积定理和单位冲激函数的性质，第三步利用了 $t\exp(-t)$ 的对称性，第四步利用了指数函数的 Fourier 变换公式。

因此，$y(t)$ 的 Fourier 变换为 $Y(\omega) = \frac{1}{(1+j\omega)^2}$。

相关问题

syms t;%syms的功能是什么? x=sym(exp(-2*abs(t)));% y= fourier(x)%语句的结果是什么? t = [0:0.01:9.99]; yt =exp(-2*abs(t-5));%语句的结果是什么? plot(t,yt) title('y(t)=exp(-2*abs(t-5))’) xlabel('t'); ylabel('y(t)'); N=1000: tau = 0.01: t = [0:0.01:9.99]; yt = exp(-2*abs(t-5)): Y = fftshift(tau*(fft(yt)));%语句的结果是什么? plot(t,real(Y));%语句的结果是什么? title('Y(jwk)实部’); xlabel('t');ylabel('real(Y)’): plot(t,imag(Y));%语句的结果是什么? title('Y(jwk)虚部’); xlabel('t'):ylabel('imag(Y)'):

syms t; 是 MATLAB 中的符号计算功能，它可以用来定义符号变量，进行符号运算和符号求导等操作。

x=sym(exp(-2*abs(t))); 是用 syms 定义符号变量 t，然后用符号函数 exp 和符号运算 abs 定义变量 x。

y=fourier(x) 是对变量 x 进行傅里叶变换，返回变量 y 的结果。

t = [0:0.01:9.99]; 定义变量 t，从 0 开始，每次增加 0.01，一直增加到 9.99。

yt =exp(-2*abs(t-5)); 定义变量 yt，其值为 exp(-2*abs(t-5))。

plot(t,yt) 是将变量 t 和 yt 的值画成图像。

N=1000; tau = 0.01; t = [0:0.01:9.99]; yt = exp(-2*abs(t-5)); Y = fftshift(tau*(fft(yt))); 是将变量 N、tau、t 和 yt 定义，然后对 yt 进行傅里叶变换，将结果存储在变量 Y 中。

plot(t,real(Y)); 是将变量 t 和变量 Y 的实部画成图像。

plot(t,imag(Y)); 是将变量 t 和变量 Y 的虚部画成图像。

利用fourier( ) 函数求f(t)=t*e^(-3t^2)函数的傅氏变换，列出代码，并画出幅度频谱图；

在Python中，我们可以使用`scipy`库中的`fftpack`模块来进行离散傅里叶变换（DFT）。首先，我们需要导入必要的库并定义函数f(t)，然后计算其离散傅里叶变换，最后绘制幅度频谱图。这里假设你已经安装了`numpy`和`matplotlib`库。

import numpy as np
from scipy.fftpack import fft
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数 f(t)
def f(t):
    return t * np.exp(-3 * t**2)

# 定义时间步长和时间序列长度
dt = 0.01
t = np.arange(0, 5, dt)

# 计算函数值
y = f(t)

# 进行离散傅里叶变换
Y = fft(y)

# 获取频率轴 (从0到采样率一半)
freqs = np.fft.fftfreq(len(t), d=dt)

# 取绝对值处理实数数组
abs_Y = np.abs(Y)

# 绘制幅度频谱图
plt.figure()
plt.plot(freqs, abs_Y, 'r')  # 红色线表示幅度谱
plt.xlabel('Frequency')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.title('Amplitude Spectrum of f(t)')
plt.show()