matlab随机投点法计算积分代码

在MATLAB中，我们可以使用蒙特卡洛积分方法来通过随机投点法近似计算二维或多维区域的积分。这种方法的基本思想是，通过大量随机样本点落在被积函数定义区域内的频率，来估计给定积分值。

下面是一个简单的例子，演示如何使用随机投点法计算二维函数`f(x,y) = x^2 + y^2`在单位圆`x^2 + y^2 <= 1`内的积分：

% 定义函数
f = @(x, y) x.^2 + y.^2;

% 设定积分区域范围
xlim = [-1 1];
ylim = xlim; % 单位圆

% 设置随机数生成种子以便复现结果
rng('default') % 使用默认的随机数引擎

% 设置点的数量（更多点将提高精度）
num_points = 1000000;

% 创建一个指定大小的矩阵用于存储随机点
[x, y] = meshgrid(linspace(xlim(1), xlim(2), num_points));
points = [x(:), y(:)];

% 计算每个点是否在单位圆内
inside_circle = norm(points, 2) <= 1; % 判断距离原点的距离

% 计算在圈内的点对应的函数值，并求平均作为积分估计
integral_estimate = mean(f(points(:, inside_circle)));

% 输出积分估计和标准误差
disp(['Estimated integral value: ', num2str(integral_estimate)])
disp(['Standard error (using the empirical rule): ', num2str(std(f(points(:, inside_circle))) / sqrt(num_points))])