费马因子分解python

费马因子分解是一种简单但相对低效的大数分解算法，其思想是通过检测某些数字的平方与给定数之差是否为完全平方数来分解大数。以下是一个使用Python实现的示例代码：

from math import isqrt

def fermat_factorization(n):
    a = isqrt(n) + 1
    b2 = a ** 2 - n
    while not is_square(b2):
        a += 1
        b2 = a ** 2 - n
    p = a - isqrt(b2)
    q = a + isqrt(b2)
    return p, q

def is_square(n):
    return isqrt(n) ** 2 == n

# 测试数据
n = 12345678987654321

# 分解
p, q = fermat_factorization(n)

print('n =', n)
print('p =', p)
print('q =', q)
print('n = p * q ?', n == p * q)

需要注意的是，费马因子分解算法的效率不如其他更高级的算法，对于大的素数分解可能需要很长时间才能得到结果。因此，在实际应用中，建议使用更为高效的大数分解算法，如Pollard-rho算法、QS算法等。

相关问题

用python编码，输入n，用费马分解法将n分解

费马分解法是一种用于分解大整数的一种算法，它不是标准的数学运算，而是基于概率和试错的方式寻找素因子。在Python中，虽然可以实现这种算法，但它的效率并不高，因为对于非常大的数字，计算时间会很长。

下面是一个简单的Python函数示例，使用了费马小定理作为基础来尝试分解：

import random

def fermat_test(a, n):
    """Fermat's Little Theorem test"""
    if a ** (n - 1) % n != 1:
        return False
    return pow(a, int(n**0.5) + 1, n) == n

def fermat_factorization(n, trials=100):
    """Probabilistic Fermat Factorization"""
    factors = []
    
    for _ in range(trials):
        a = random.randint(2, n - 1)
        
        # If n is composite and a has no common factor with n
        if fermat_test(a, n):
            b = pow(a, (n - 1) // 2, n)
            
            # Check if b is a factor by comparing its square to n
            if b * b % n == n:
                factors.append(n)
                factors.append(b)
                break
            elif b != 1 and b != n - 1:
                factors.append(b)

    return factors if len(factors) == 2 else None

# 示例
n = int(input("请输入一个整数："))
result = fermat_factorization(n)
if result:
    print(f"使用费马分解法得到：{result}")
else:
    print("无法通过费马分解法找到因子，可能需要更高效的算法。")

如何用Python实现费马分解（Fermat Factorization）算法？

费马分解算法，也称为Pollard rho算法，是一种用于寻找大整数素因子的有效非确定性算法。在Python中实现费马分解的基本步骤如下：

1. **选择函数**：通常选择`f(x) = x^2 + c (mod n)`，其中c是一个随机选择的小于n的常数。

2. **初始化**：选择两个初始值x和y，并设置它们相等，即`x = y = a`，这里a可以是小于n的一个整数。

3. **迭代**：
- 如果`x`等于`y`，那么我们找到了一个可能的因子：`d = gcd(|x - y|, n)`。如果d是大于1且小于n的，则它是一个因子。
- 否则，更新`y`的值：`y = f(f(y))`

4. **循环**：重复步骤3，直到找到因子或达到预定的最大迭代次数。

下面是一个简单的Python实现示例：

import math

def fermat_rho(n, max_iter=1000):
    def f(x):
        return (x**2 + 1) % n

    x = random.randint(2, n-2)
    y = x
    d = None
    for _ in range(max_iter):
        x = f(x)
        y = f(f(y))
        if x == y:
            d = math.gcd(abs(x - y), n)
            if d > 1 and d < n:
                break

    if d is not None:
        return d, n // d
    else:
        return None  # 没有找到因子

# 使用示例
factor = fermat_rho(97031653)
if factor:
    print(f"Found factors {factor[0]} and {factor[1]}, which multiply to give {n}")
else:
    print("No factors found within the given iterations.")