图的最小生成树课程设计

### 图的最小生成树算法实现课程设计

#### 1. 最小生成树简介
最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)是指在一个无向连通加权图中，选取n个顶点和n-1条边组成的子图，使得这些边权重之和达到最小值。这一概念不仅限于理论研究，在实际生活中也有广泛应用，比如网络布线规划、城市交通优化等领域都离不开它[^1]。

#### 2. Prim算法原理及其Python实现
Prim算法是一种用于构建最小生成树的经典贪心策略。该方法从任意节点出发逐步扩展已访问过的区域直到覆盖整个图形；每次迭代过程中总是挑选当前未加入集合且与现有部分相连代价最低的新结点作为下一个目标。以下是基于此逻辑编写的Python版本代码：

import sys
from collections import defaultdict


def prim(graph):
    start_vertex = list(graph.keys())[0]
    mst_set = set([start_vertex])
    edges = []
    
    while len(mst_set) != len(graph):
        min_edge = None
        for vertex in mst_set:
            for neighbor, weight in graph[vertex].items():
                if neighbor not in mst_set and (min_edge is None or weight < min_edge[2]):
                    min_edge = (vertex, neighbor, weight)

        if min_edge:
            edges.append(min_edge)
            mst_set.add(min_edge[1])

    return edges

这段程序接收一个字典形式表示邻接表结构的地图参数`graph`，并通过不断更新候选列表来确定最优路径组合[^3]。

#### 3. Kruskal算法概述及其实现方式
不同于Prim的做法，Kruskal采用另一种思路解决问题：先按照每条边长度从小到大排序，再依次判断能否安全地将其纳入正在形成的森林体系内而不形成环路。具体操作如下所示：

class DisjointSet(object):

    def __init__(self):
        self.parent = {}
        
    def find(self, node):
        if self.parent[node] != node:
            self.parent[node] = self.find(self.parent[node])  
        return self.parent[node]

    def union(self, u, v):
        root_u = self.find(u)
        root_v = self.find(v)
        if root_u != root_v:
            self.parent[root_v] = root_u
            
            
def kruskal(edges, num_nodes):
    dsu = DisjointSet()
    result = []

    sorted_edges = sorted((w, u, v) for u,v,w in edges)
    
    for w,u,v in sorted_edges:
        if dsu.find(u) != dsu.find(v): 
            result.append((u, v))
            dsu.union(u, v)
                
    return result

这里定义了一个辅助类`DisjointSet`用来管理各个独立组件间的归属关系，并通过查找-联合机制有效防止循环出现的可能性[^4]。

#### 4. 应用实例探讨
除了传统的计算机科学应用场景外，近年来随着大数据时代的到来，MST也被广泛应用于模式识别、图像处理乃至生物信息学等多个交叉学科之中。例如，在某些特定条件下利用改进后的MST模型可以完成对复杂高维空间下样本点的有效分类任务。