If V( x)的积分 < -BV( x) , B>0 , then the equilibrium x'= 0 is exponentially stable;用公式证明一下

证明过程如下：

假设系统的状态方程为 x' = f(x)，其中 x 是系统的状态向量，f 是可微的非线性函数。我们将系统的平衡点设置为 x=0。

首先，我们定义系统的能量函数为 V(x)，它是一个正定的、二次型的函数，表示系统的能量。因为 V(x) 是正定的，所以它的导数 V'(x) 在整个状态空间都是连续的。

其次，我们假设 If V(x)的积分 < -BV(x)，其中 B>0。这个条件意味着系统的能量函数在系统的状态空间中是严格递减的，且递减速度至少是 BV(x)。也就是说，对于任意非零 x，都有 V'(x) f(x) < -BV(x)。

接下来，我们考虑一个以 x(0) 为初始状态的轨迹 x(t)。我们将该轨迹的长度定义为 ||x(t)||，它表示状态向量 x(t) 的范数或长度。因为能量函数 V(x) 是正定的，所以 ||x(t)|| 的值不能为零。

根据条件 If V(x)的积分 < -BV(x)，我们可以得到以下不等式：

V(x(t)) - V(x(0)) < -B ∫_0^t V(x(τ)) dτ

将该不等式两边对 t 求导，得到：

V'(x(t)) x'(t) < -BV(x(t))

接下来，我们可以将 x'(t) 表示为 f(x(t))，得到：

V'(x(t)) f(x(t)) < -BV(x(t))

由于 V'(x(t)) 是正定的，所以我们可以将不等式两边同时乘以 V'(x(t))^-1，得到：

f(x(t)) < -B V'(x(t))^-1 V(x(t))

现在，我们将上述不等式两边同时积分，得到：

∫_0^t f(x(τ)) dτ < -B ∫_0^t V'(x(τ))^-1 V(x(τ)) dτ

根据 Schwarz 不等式，我们可以得到：

|∫_0^t f(x(τ)) dτ| <= ∫_0^t |f(x(τ))| dτ

因此，我们可以得到以下不等式：

∫_0^t |f(x(τ))| dτ < -B ∫_0^t V'(x(τ))^-1 V(x(τ)) dτ

根据条件 If V(x)的积分 < -BV(x)，我们可以得到：

∫_0^t |f(x(τ))| dτ < -BV(x(t)) + BV(x(0))

将 BV(x(t)) 代入上式，得到：

∫_0^t |f(x(τ))| dτ < BV(x(0)) - BV(x(t))

因为 B>0，所以 BV(x(0)) - BV(x(t)) 是一个递减函数。因此，我们可以得到以下不等式：

∫_0^t |f(x(τ))| dτ < BV(x(0))

最后，我们将上述结果代入到 ||x(t)|| 的定义中，得到：

||x(t)|| <= ||x(0)|| e^(-Bt)

这个不等式说明了，对于任意以 x(0) 为初始状态的轨迹 x(t)，系统的状态向量 x(t) 都会指数级别地趋向于平衡点 x=0。也就是说，系统的平衡点 x=0 是指数级别稳定的。证毕。