t^pg(t)的拉氏变换

假设 $f(t) = t \cdot g(t)$，则 $F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \mathcal{L}\{t \cdot g(t)\}$。根据拉普拉斯变换的定义，有：

$$
\begin{aligned}
F(s) &= \mathcal{L}\{t \cdot g(t)\} \\
&= \int_0^\infty t \cdot g(t) \cdot e^{-st} dt
\end{aligned}
$$

对上式中的被积函数部分进行分部积分，得到：

$$
\begin{aligned}
\int_0^\infty t \cdot g(t) \cdot e^{-st} dt &= -\frac{1}{s} \int_0^\infty (-t) \cdot g(t) \cdot e^{-st} dt \\
&= -\frac{1}{s} \cdot \mathcal{L}\{-t \cdot g(t)\}
\end{aligned}
$$

因此，$F(s) = -\frac{1}{s} \cdot \mathcal{L}\{-t \cdot g(t)\}$。

又因为 $\mathcal{L}\{-t \cdot g(t)\}$ 就是 $G'(s)$，其中 $G(s) = \mathcal{L}\{g(t)\}$，所以最终有：

$$
\boxed{F(s) = -\frac{G'(s)}{s}}
$$