X倍根号下1+4X^2的原函数

这道题可以使用三角代换来解决。

我们令 $x = \frac{\tan t}{2}$，则有：

$$\begin{aligned} \sqrt{1+4x^2} &= \sqrt{1+4\left(\frac{\tan t}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} \\ &= \sqrt{\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t}} \\ &= \frac{1}{\cos t} \end{aligned}$$

同时，我们有：

$$\begin{aligned} dx &= \frac{1}{2} \sec^2 \frac{t}{2} dt \\ &= \frac{1}{2} \frac{\cos^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 t} dt \\ &= \frac{1}{2} \frac{1 + \cos t}{\cos^2 t} dt \end{aligned}$$

于是，原函数可以表示为：

$$\begin{aligned} \int x\sqrt{1+4x^2} dx &= \int \frac{\frac{\tan t}{2}}{\cos t} \cdot \frac{1}{2} \frac{1 + \cos t}{\cos^2 t} dt \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{\sin t}{\cos^3 t} dt + \frac{1}{4} \int \frac{\tan t}{\cos^2 t} dt \\ &= -\frac{1}{4\cos t} + \frac{1}{4} \ln |\cos t| + C \\ &= -\frac{\sqrt{1+4x^2}}{4x} + \frac{1}{4} \ln \left|\frac{\sqrt{1+4x^2}+2x}{\sqrt{1+4x^2}-2x}\right| + C \end{aligned}$$

因此，原函数为 $-\frac{\sqrt{1+4x^2}}{4x} + \frac{1}{4} \ln \left|\frac{\sqrt{1+4x^2}+2x}{\sqrt{1+4x^2}-2x}\right| + C$。