cot权重的Laplace矩阵

Laplace矩阵（Laplacian matrix）是图论中常用的一种矩阵，它可以描述无向图的拓扑结构。对于一个无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示节点集合，$E$ 表示边集合，Laplace矩阵 $L$ 的定义为：

$$
L = D - A
$$

其中 $D$ 是度数矩阵（degree matrix），它是一个对角矩阵，第 $i$ 个对角线上的元素为节点 $i$ 的度数（即与节点 $i$ 相连的边的数量）；$A$ 是邻接矩阵（adjacency matrix），它是一个 $|V| \times |V|$ 的矩阵，其中 $A_{i,j}=1$ 表示节点 $i$ 和节点 $j$ 之间存在一条边，否则 $A_{i,j}=0$。

对于有权图，我们可以考虑使用 cot（cotangent） 权重来计算 Laplace 矩阵。cot 权重常常被用于三角网格上的计算，它的定义如下：

$$
w_{i,j} = \frac{\langle \vec{p_i}-\vec{p_j}, \vec{p_k}-\vec{p_j} \rangle}{\|\vec{p_i}-\vec{p_j}\| \|\vec{p_k}-\vec{p_j}\|},
$$

其中 $\vec{p_i}$ 表示节点 $i$ 的坐标，$\langle \cdot,\cdot \rangle$ 表示向量的点积，$\|\cdot\|$ 表示向量的模长，$\vec{p_k}$ 表示与节点 $i$ 和节点 $j$ 相邻的节点（即与节点 $i$ 和节点 $j$ 之间存在一条边的节点）。

使用 cot 权重可以得到 cotangent Laplace 矩阵，它的定义为：

$$
L_{cot} = D - W,
$$

其中 $D$ 是度数矩阵，$W$ 是 cot 权重矩阵，它的元素 $W_{i,j}$ 表示节点 $i$ 和节点 $j$ 之间的 cot 权重。