学生一起买小吃,共花钱50元,其中每个大学生花3元,每个中学生花2元,每个小学生花1元。输入学生总人数,问大、中、小学生的人数分配共有多少种不同的解(去掉某类学生数为0的解)?
时间: 2024-06-10 19:05:37 浏览: 14
你好,这是一个排列组合问题。假设共有x个大学生,y个中学生,z个小学生,由题目可得:
3x + 2y + z = 50
同时,大、中、小学生的人数必须为正整数,因此可以设定以下条件:
x ≥ 0,y ≥ 0,z ≥ 0
现在的问题是,如何求解满足以上条件的正整数解的总数。
这里我们采用组合数学的知识,利用「隔板法」计算总方案数:
将50元分配给大、中、小学生,可以看做是将50个球(代表50元)放入3个盒子(代表大、中、小学生),每个盒子至少放1个球。根据「隔板法」,将50个球放入3个盒子的方案数为:
C(50-1, 3-1) = C(49, 2) = 1176
但是这个结果包含了大、中、小学生某一类人数为0的情况,我们需要去掉这些不合法的方案。这里有两种情况:
1. 只有一种类型的学生存在(比如只有大学生):此时我们需要让另外两种学生的个数至少为1,因此可以把其中一个球放到第一个盒子之前,把另一个球放到第二个盒子之前,也就是相当于在3个盒子之间插入2个球,然后再按照「隔板法」计算方案总数。对于每种学生类型,这种情况都有1种不合法的方案。因此需要减去3种不合法方案。
2. 有两种或三种类型的学生共存,但其中某一类学生数为0:此时相当于在两个盒子之间插入一个球,那么相当于在剩下的两个盒子之间放置47个球。所以可以先计算出任意两个盒子之间放置47个球的方案总数,再乘以3即可,因为有3种学生类型可以为0。根据「隔板法」,47个球放入2个盒子,不考虑限制条件的方案数为C(47+2-1, 2-1) = C(48, 1) = 48。因此,两个盒子之间放置47个球,某一类学生为0的不合法方案总数为3×48=144。
综上所述,满足条件的正整数解的总数为:
1176 - 3 - 144 = 1029
因此,大、中、小学生的人数分配共有1029种不同的解。
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