求极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}$. \item 求极限 $\lim \limits_{x \rightarrow y^{2}}(\cos x)^{\frac{x^{2}}{}}$.

第一个问题，我们可以先将分子和分母同时乘以分子分母的共轭，得到：

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{5n}-\sqrt{n}}{\sqrt{2n}-\sqrt{n}} &= \lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{5n}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{2n}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{2n}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{2n}+\sqrt{n}\right)} \\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{n}}{\sqrt{2}-1} \\ &= \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}-1}\approx 2.24. \end{aligned}$$

第二个问题，我们可以将 $(\cos x)^{\frac{x^2}{}}$ 写成 $e^{\frac{x^2\ln(\cos x)}{}}$ 的形式，然后再考虑 $\lim_{x\to y^2}\frac{x^2\ln(\cos x)}{x-y^2}$ 的值。这个极限的分子和分母都趋近于 $0$，所以可以用洛必达法则求得：

$$\begin{aligned} \lim_{x\to y^2}\frac{x^2\ln(\cos x)}{x-y^2} &= \lim_{x\to y^2}\frac{2x\ln(\cos x)-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x\cdot 2x}{1} \\ &= \lim_{x\to y^2}2x\ln(\cos x)-2x\tan x \\ &= 2y^2\ln(\cos y^2)-2y^2\tan y^2. \end{aligned}$$

因为 $\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}=-\frac{1}{2}$，所以 $\lim_{y\to 0}\ln(\cos y^2)=-\infty$，同时 $\tan y^2\to y^2$，所以最终的极限为 $-\infty$。因此，原极限不存在。