平面曲线绕定直线旋转的推导

平面曲线绕固定直线旋转，通常涉及到数学中的旋转变换和积分的概念，特别是对极坐标到直角坐标的转换。假设我们要将参数方程描述的曲线 \( r = f(\theta) \)，绕着直线 \( y = b \)（其中 \( b \) 是常数）进行旋转，形成的曲面是一个螺旋线。

首先，我们需要找到曲线的普通方程，这可以通过将 \( x \) 和 \( y \) 用 \( \theta \) 表达出来：
\[ x = r\cos(\theta), \quad y = r\sin(\theta) \]
给定 \( r = f(\theta) \)，我们可以将 \( y \) 的表达式代入 \( y = b \) 来得到关于 \( \theta \) 的方程：
\[ b = f(\theta)\sin(\theta) \]

然后，考虑绕 \( y=b \) 轴旋转，每个点 \( (x, y) \) 将映射到一个新的点 \( (X, Y) \) 在垂直于原平面的新平面上，可以使用极坐标系下的旋转公式：
\[ X = x \cos(\alpha) - y \sin(\alpha), \quad Y = x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha) \]
这里 \( \alpha \) 是角度，它取决于 \( \theta \) 和 \( y \)。由于 \( y = f(\theta)\sin(\theta) \)，我们可以求出 \( \alpha \) 关于 \( \theta \) 的表达式。

接下来，我们将 \( x \) 和 \( y \) 用 \( f(\theta) \) 替换，并计算 \( X \) 和 \( Y \)，会得到新的参数方程，表示旋转后的螺旋线。为了得到具体的积分形式，需要对 \( f(\theta) \) 进行适当的微分处理。