用numpy写个rpca

RPCA（Robust Principal Component Analysis）是一种用于矩阵分解的方法，可以将一个数据矩阵分解为一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵的和。这个方法可以应用于很多领域，比如视频处理、图像处理、信号处理等等。

下面是用numpy实现RPCA的代码：

import numpy as np
from numpy.linalg import svd

def rpca(X, lmbda, tol=1e-6, max_iter=1000):
    m, n = X.shape
    mu = 1.25 / np.linalg.norm(X, ord='fro')
    Y = X / mu
    L = np.zeros((m, n))
    S = np.zeros((m, n))
    for i in range(max_iter):
        L0 = L
        S0 = S
        U, sigma, Vt = svd(Y - S + (1/mu)*L, full_matrices=False)
        L = U @ np.diag(shrink(sigma, 1/mu*lmbda)) @ Vt
        S = shrink(Y - L + (1/mu)*S, lmbda/mu)
        err = np.linalg.norm(L - L0, ord='fro') / np.linalg.norm(X, ord='fro')
        if err < tol:
            break
    return L, S

def shrink(X, tau):
    return np.sign(X) * np.maximum(np.abs(X) - tau, 0)

其中，`X`是我们要分解的数据矩阵，`lmbda`是一个超参数，控制着稀疏矩阵的稀疏度。`tol`和`max_iter`分别是收敛误差和最大迭代次数的限制。

在`rpca`函数中，我们首先将`X`除以一个归一化因子`mu`，这样可以保证算法的稳定性。然后，我们初始化低秩矩阵`L`和稀疏矩阵`S`为全零矩阵。接下来，我们开始迭代，每次迭代都更新`L`和`S`，直到达到收敛条件。

在更新`L`和`S`的时候，我们使用了`shrink`函数，它实现了软阈值函数，可以将矩阵中的小值置为零。这个函数是RPAC算法的关键之一。

最后，我们返回分解后的低秩矩阵`L`和稀疏矩阵`S`。

使用这个函数，我们可以对一个数据矩阵进行RPCA分解，得到它的低秩和稀疏部分。