我用的是matlab2016，请提供一些不需要付费的函数来实现上述功能

好的，如果您使用的是 Matlab 2016 版本，可能需要使用一些免费的控制工具箱来实现上述功能。

首先，您需要安装 Control System Toolbox。如果您的 Matlab 是 R2016b 或更早版本，则 Control System Toolbox 是默认安装的。如果您的 Matlab 是 R2016a 或更早版本，则需要手动安装 Control System Toolbox。具体安装方法可以参考 MathWorks 官方文档：https://www.mathworks.com/help/control/installing-control-system-toolbox.html

安装完成后，就可以使用 Control System Toolbox 中提供的函数来求解根轨迹了。以下是使用 Control System Toolbox 的代码实现：

% 定义系统传递函数
num = [10, 70, 340, 850];
den = [50, 694, 1290, -739, -3559];
G = tf(num, den);
K = 25;

% 计算系统开环传递函数
L = K*G;

% 绘制根轨迹
rlocus(L);

% 计算渐近线与实轴的交点 sigma_a
[num, den] = tfdata(L);
poles = roots(cell2mat(den));
zeros = roots(cell2mat(num));
n = length(poles) - length(zeros);
sigma_a = (sum(real(poles)) - sum(real(zeros))) / n;

% 计算渐近线与实轴的夹角 theta_a
theta_a = (2*(0:n-1)+1)*pi/(2*n) - angle(polyval(den,sigma_a));

% 计算分离点
s_star = 0;
for k = 1:n
    s_star = s_star + poles(k) - zeros(k);
end
s_star = s_star / n;

% 计算根轨迹与虚轴的交点
Kv = -real(polyval(num,0))/real(polyval(den,0));
s_v = -1 / (Kv * s_star);

% 输出结果
disp(['渐近线与实轴的交点 sigma_a = ' num2str(sigma_a)]);
disp(['渐近线与实轴的夹角 theta_a = ' num2str(theta_a)]);
disp(['分离点 s_star = ' num2str(s_star)]);
disp(['根轨迹与虚轴的交点 s_v = ' num2str(s_v)]);

输出结果与之前的结果应该是一样的。

请注意，Control System Toolbox 中的 rlocus 函数绘制的根轨迹可能与之前使用的 rlocus 函数稍有差别。这是因为不同版本的 Matlab 使用的算法可能不同，导致根轨迹的形状有所不同。但无论如何，根轨迹的基本特征（如渐近线的斜率、交点位置等）应该是一致的。