c语言分治法对于给定的n个元素的数组a[1..n],要求从中找出第k小的元素。 【输入样例】 a={20, 43, 32, 67 ,48, 89, 36, 47, 15} k=3 【输出样例】 32
时间: 2024-05-19 12:14:37 浏览: 10
题目分析
本题要求在一个无序数组中找到第 $k$ 小的元素,可以使用分治法(快速选择算法)来解决。快速选择算法的思想和快速排序类似,都是通过分治思想将问题规模不断缩小,最终找到解决方案。
具体而言,我们可以通过快速排序的思路来进行分治。在快速排序中,我们选择一个主元(pivot),将数组分为两部分,左边的元素小于等于主元,右边的元素大于主元,然后递归地对左右两部分进行排序。在快速选择算法中,我们同样选择一个主元,但是只需要对主元所在的一边进行排序,另一边则不需要再排序。具体实现时,我们可以先将数组分为两部分,左边的元素小于等于主元,右边的元素大于主元,然后根据主元的位置和 $k$ 的大小关系,递归地在左边或右边继续查找第 $k$ 小的元素。如果主元的位置恰好为 $k-1$,那么主元就是第 $k$ 小的元素;如果主元的位置小于 $k-1$,那么第 $k$ 小的元素一定在右边;如果主元的位置大于 $k-1$,那么第 $k$ 小的元素一定在左边。
时间复杂度:$O(n)$(期望情况下,最坏情况下为 $O(n^2)$)
代码实现
相关问题
使用分治法,对于给定的n个元素的数组a[1..n],要求从中找出第k小的元素
分治法的思路是将数组分为两部分,分别求出左半部分的第k小元素和右半部分的第k小元素,然后将两部分的结果合并,得到整个数组的第k小元素。
具体实现过程如下:
1. 选取数组a的中间元素mid,将数组分为两部分a[1..mid]和a[mid+1..n]。
2. 统计左半部分数组a[1..mid]中小于等于mid的元素个数count_left,如果count_left大于等于k,则在左半部分继续递归查找第k小元素;否则,在右半部分a[mid+1..n]中查找第k-count_left小的元素。
3. 对于右半部分a[mid+1..n]同样进行递归查找,得到第k_right小的元素。
4. 将左半部分的第k小元素和右半部分的第k_right小元素进行比较,取较小值作为整个数组的第k小元素。
5. 如果左半部分的第k小元素等于右半部分的第k_right小元素,则直接返回该值;否则,对于左半部分的第k小元素,在左半部分中继续查找第k_left小的元素,对于右半部分的第k_right小元素,在右半部分中继续查找第k_right-k_left小的元素。
6. 重复步骤2-5,直到找到第k小的元素。
时间复杂度为O(nlogn),空间复杂度为O(logn)。
分治算法对于给定的n个元素的数组a[1..n],要求从中找出第k小的元素。
分治算法可以解决找出第k小的元素问题。具体步骤如下:
1. 将数组a[1..n]分成若干个大小相等的子数组,每个子数组中包含m个元素,最后一个子数组可能少于m个元素。
2. 对每个子数组进行排序,找出每个子数组中的中位数,将这些中位数组成一个n/m大小的数组b[1..n/m]。
3. 如果b中的元素个数大于k,则递归在b中寻找第k小的元素。否则,在原数组a中寻找第k小的元素,具体方法如下:
a. 以b中元素中位数为枢轴将数组a分成两个子数组,左边的子数组中的元素都小于枢轴,右边的子数组中的元素都大于枢轴。
b. 如果左边子数组大小大于等于k,则在左边子数组中递归查找第k小的元素。
c. 如果左边子数组大小小于k,则在右边子数组中递归查找第k-k'小的元素,其中k'为左边子数组的大小。
4. 如果b中的元素个数等于k,则k为第k小的元素。
5. 将步骤3和步骤4中找到的第k小的元素返回。
使用分治算法可以将时间复杂度从O(nlogn)优化到O(n)或O(nlogm),其中m为子数组的大小。