X_rec[i,:] = Z[i,:] @ U_reduced.T

这行代码是将降维后的特征矩阵 U_reduced.T 与原始数据的 Z 矩阵相乘，得到重构后的数据矩阵 X_rec。其中 @ 表示矩阵乘法。具体来说，Z 矩阵的每一行对应原始数据中的一个样本，U_reduced.T 的每一列对应降维后的一个特征，相乘后得到的结果就是重构后的样本在降维后的特征空间中的坐标，即降维后的数据矩阵。

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def recoverData(Z, U, K): """ Recovers an approximation of the original data when using the projected data """ m,n = Z.shape[0],U.shape[0] X_rec = np.zeros((m,n)) U_reduced = U[:,:K] for i in range(m): X_rec[i,:] = Z[i,:] @ U_reduced.T return X_rec

这是一个 Python 函数，用于从经过投影的数据 Z 和降维后的特征向量 U 中恢复近似原始数据。K 是降维后使用的特征向量数量。具体来说，函数首先创建一个大小为 (m,n) 的零矩阵 X_rec，其中 m 是样本数，n 是特征数。然后，它从 U 中选择前 K 个特征向量，将其存储在 U_reduced 中。接下来，函数遍历每个样本，将其对应的投影数据 Z[i,:] 与 U_reduced.T 相乘，并将结果存储在 X_rec[i,:] 中。最后，函数返回 X_rec。

def projectData(X, U, K): m = X.shape[0] U_reduced = U[:,:K] Z = np.zeros((m,K)) for i in range(m): for j in range(K): Z[i,j] = X[i,:] @ U_reduced[:,j] return Z

这是一个实现主成分分析（PCA）的函数。给定原始数据矩阵 X，已经通过奇异值分解（SVD）得到的左奇异矩阵 U，以及要保留的主成分个数 K，该函数返回一个降维后的数据矩阵 Z。具体地，对于每个样本向量 X[i]，该函数将其投影到 K 个主成分上得到一个 K 维向量，组成新的降维后的数据矩阵 Z。

具体地，该函数的实现过程为：

1. 首先从 U 中取出前 K 个左奇异向量，组成一个 K×n 的矩阵，其中 n 是 X 的特征维数。

2. 对于每个样本向量 X[i]，将其与 U_reduced 的每一列做内积得到一个 K 维向量，即为该样本在 K 个主成分上的投影。

3. 将所有的投影向量组合成一个 m×K 的矩阵 Z，即为降维后的数据矩阵。

需要注意的是，该函数假设输入的 X 和 U 已经被中心化过，即每个特征的均值为 0。如果没有中心化，需要在调用该函数之前先对 X 进行中心化处理。