hermite插值法多项式
时间: 2023-07-25 17:51:36 浏览: 171
Hermite插值法的多项式可以表示为:
$$
p(x) = \sum_{i=0}^n \left[ y_i \cdot h_i(x) + y_i' \cdot \widetilde{h}_i(x) \right],
$$
其中 $h_i(x)$ 和 $\widetilde{h}_i(x)$ 是Hermite基函数,分别表示函数值插值多项式和导数插值多项式。具体来说,$h_i(x)$ 的表达式为:
$$
h_i(x) = \left[ 1 - 2 (x - x_i) L_i'(x_i) \right] L_i^2(x),
$$
而$\widetilde{h}_i(x)$ 的表达式为:
$$
\widetilde{h}_i(x) = (x - x_i) L_i^2(x).
$$
其中,$L_i(x)$ 是Lagrange插值多项式,满足 $L_i(x_j) = \delta_{ij}$。
Hermite基函数的选择可以有很多种,但是通常采用的是Newton形式的Hermite基函数,具体形式为:
$$
h_i(x) = \prod_{j=0,j\neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \cdot \left[ 1 - 2(x-x_i) \sum_{j=0,j\neq i}^{n} \frac{1}{x_i - x_j} \right],
$$
$$
\widetilde{h}_i(x) = (x - x_i) \cdot \prod_{j=0,j\neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}.
$$
这种形式的Hermite基函数在计算上比较简单,因此比较常用。
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