证明rank(x)=rank(xTX)

这是一个线性代数的问题，可以使用矩阵的性质来证明。假设 x 是一个 n 维列向量，T 是一个 n×n 的矩阵，那么我们有：

rank(x) = dim(span(x)) = r

其中 span(x) 表示由 x 张成的向量空间，r 表示 x 的秩。同样地，我们有：

rank(xTX) = dim(span(xTX)) = r

其中 xTX 是一个 n×n 的矩阵，它的每个元素都是 x 的对应元素的平方。现在我们需要证明 span(x) 和 span(xTX) 是同一个向量空间。

首先，我们有：

span(x) ⊆ span(xTX)

因为 xTX 中的每个列向量都可以表示为 x 的线性组合。因此，任何一个由 x 张成的向量都可以表示为 xTX 的线性组合。

其次，我们有：

span(xTX) ⊆ span(x)

因为 xTX 中的每个列向量都可以表示为 x 的线性组合，而 x 中的每个元素都是 xTX 中对应元素的平方。因此，任何一个由 xTX 张成的向量都可以表示为 x 的线性组合。

综上所述，我们证明了 span(x) 和 span(xTX) 是同一个向量空间，因此它们的维数相等，即：

rank(x) = rank(xTX)

因此，我们证明了 rank(x) 等于 rank(xTX)。