证明rank(x)=rank(xTX)

这是一个线性代数的问题，可以使用矩阵的性质来证明。假设 x 是一个 n 维列向量，T 是一个 n×n 的矩阵，那么我们有：

rank(x) = dim(span(x)) = r

其中 span(x) 表示由 x 张成的向量空间，r 表示 x 的秩。同样地，我们有：

rank(xTX) = dim(span(xTX)) = r

其中 xTX 是一个 n×n 的矩阵，它的每个元素都是 x 的对应元素的平方。现在我们需要证明 span(x) 和 span(xTX) 是同一个向量空间。

首先，我们有：

span(x) ⊆ span(xTX)

因为 xTX 中的每个列向量都可以表示为 x 的线性组合。因此，任何一个由 x 张成的向量都可以表示为 xTX 的线性组合。

其次，我们有：

span(xTX) ⊆ span(x)

因为 xTX 中的每个列向量都可以表示为 x 的线性组合，而 x 中的每个元素都是 xTX 中对应元素的平方。因此，任何一个由 xTX 张成的向量都可以表示为 x 的线性组合。

综上所述，我们证明了 span(x) 和 span(xTX) 是同一个向量空间，因此它们的维数相等，即：

rank(x) = rank(xTX)

因此，我们证明了 rank(x) 等于 rank(xTX)。

相关问题

''' 函数功能：计算回归系数 参数说明： dataSet:原始数据集 返回： ws:回归系数 ''' xMat,yMat = get_Mat(dataSet) xTx = xMat.T * xMat if np.linalg.det(xTx) == 0: print('矩阵为奇异矩阵，无法求逆！') return ws = xTx.I*(xMat.T*yMat) # xTx.I ，用来求逆矩阵 return ws代码注释

这段代码是一个计算回归系数的函数。具体来说，它接受一个原始数据集作为输入，然后通过矩阵运算来计算回归系数。函数中首先调用了另一个函数 get_Mat 来将数据集转换成矩阵形式，然后计算矩阵的转置与自身的乘积。接下来，它判断矩阵是否为奇异矩阵（行列式为0），如果是，则输出提示信息并返回。否则，它通过求逆矩阵的方式，计算出回归系数。最后，函数返回回归系数。

证明式Dj(x)=|| x-mj ||与式dj(x)=xT*mj-1/2*mjT*mj等价

根据题目中的两个式子，我们可以将Dj(x)展开：
Dj(x) = || x - mj || = (x - mj)T(x - mj) = xTx - 2xTmj + mjTmj
将式子dj(x)展开：
dj(x) = xT*mj-1/2*mjT*mj = xT*mj - 1/2*mjT*mj
将式子中的xT*mj代入Dj(x)中，得到：
Dj(x) = xTx - 2dj(x) + mjTmj + 2*1/2*mjT*mj
化简后得到：
Dj(x) = xTx - 2dj(x) + mjTmj + mjT*mj
可以看出，Dj(x)与dj(x)等价。