编程实现割圆法计算圆周率，并输出分割不同次数时边数、圆周率值以及计算所得圆周率值与math库中的圆周率值。

割圆法是一种古老的计算圆周率的方法，通过不断细分圆并近似其面积来逼近π的值。我们可以用Python编写一个简单的循环程序来实现这一过程。以下是基本的步骤：

首先，定义一个函数，比如`approximate_pi(n)`，其中`n`是将圆分成的等边三角形的数量（每增加一倍的边数，误差就会减半）。每个三角形的一条边代表圆的弦，我们将这些弦连起来形成一个内接正多边形。

import math

def approximate_pi(num_sides):
    # 将单位圆分成num_sides个等边三角形
    side_length = 2 / num_sides
    apothem = (side_length * (2 - math.sqrt(3))) / 2
    polygon_area = (side_length ** 2) * num_sides / (4 * math.tan(math.pi / num_sides))
    
    # π ≈ 2 * apothem * polygon_area
    pi_approximation = 2 * apothem * polygon_area
    
    return num_sides, pi_approximation, abs(pi_approximation - math.pi)

# 计算不同边数下圆周率的估计值
sides = [1, 2, 4, 8, 16]  # 可选择更多或更少的边数
for n in sides:
    result = approximate_pi(n)
    print(f"边数: {n}, 圆周率值: {result[1]:.3f}, 误差: {result[2]:.3f}")

运行此程序会打印出每次分割得到的边数，对应的圆周率估算值以及与math库中π值的差距。