x-ln(1+x)為什麼和1/2x²同階無窮小
时间: 2023-03-21 09:00:29 浏览: 1394
当 $x$ 趋近于 $0$ 时,$x - \ln(1+x)$ 和 $\frac{1}{2}x^2$ 都是同阶无穷小。这是因为它们在 $x=0$ 处的一阶导数都等于 $1$,即
$$\lim_{x\to 0} \frac{x-\ln(1+x)}{\frac{1}{2}x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\frac{1}{1+x}}{x} = 1.$$
因此,$x-\ln(1+x)$ 与 $\frac{1}{2}x^2$ 在 $x=0$ 处具有相同的阶数,即都是二阶无穷小。
相关问题
为什么x-ln(1+x)的等价无穷小是1/2x^2
我们可以使用泰勒公式将x-ln(1+x)展开成幂级数:
x-ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...
我们知道,当x接近0时,高阶次幂的项会变得非常小,可以被忽略。因此,我们可以采用只考虑前两项的方式近似表示。
x-ln(1+x) ≈ x - (x^2)/2
将其写成等式形式:
x-ln(1+x) = x - (x^2)/2 + o(x^2)
其中,o(x^2)表示比x^2更高阶次的幂级数。因此,我们可以得到:
x-ln(1+x) = 1/2x^2 + o(x^2)
因为当x趋近于0时,o(x^2)远比1/2x^2小,可以被认为是等价于0的无穷小,因此:
x-ln(1+x) ~ 1/2x^2
改写成等式形式就是:
lim(x→0) (x-ln(1+x))/x^2 = 1/2
这就证明了1/2x^2是x-ln(1+x)的等价无穷小。
ln(1+x^2)是x的几阶节无穷小
首先,我们可以使用泰勒展开来确定ln(1+x^2)在x=0处的阶数。泰勒展开公式如下:
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
对于ln(1+x^2)函数,我们可以选择a=0。因此,我们需要计算f'(0), f''(0), f'''(0),以确定ln(1+x^2)的阶数。
首先,计算f'(x) = d/dx (ln(1+x^2))。利用链式法则,我们有:
f'(x) = 1/(1+x^2) * (2x)
将x=0带入,得到f'(0) = 1/(1+0^2) * (2*0) = 0
然后,计算f''(x) = d^2/dx^2 (ln(1+x^2))。利用链式法则和乘积法则,我们有:
f''(x) = d/dx (1/(1+x^2) * (2x))
= (0 - 2x(2x))/(1+x^2)^2
= -4x^2/(1+x^2)^2
将x=0带入,得到f''(0) = -4*0^2/(1+0^2)^2 = 0
最后,计算f'''(x) = d^3/dx^3 (ln(1+x^2))。使用相同的方法,我们有:
f'''(x) = d/dx (-4x^2/(1+x^2)^2)
= (-8x(1+x^2)^2 + 8x(2x)(2(1+x^2)))/(1+x^2)^4
= (-8x(1+x^2) + 16x^3)/(1+x^2)^3
将x=0带入,得到f'''(0) = -8*0(1+0^2) + 16*0^3)/(1+0^2)^3 = 0
根据以上计算结果,ln(1+x^2)在x=0处的阶数为3阶无穷小。