BFAKF算法解大型病态矩阵方程的matlab程序

BFAKF算法是一种用于解决大型病态矩阵方程的算法，其核心思想是将矩阵分解为低秩矩阵和稠密矩阵，然后使用快速迭代法求解。下面是一个基于MATLAB的BFAKF算法的示例程序：

% 输入参数：
% A: 待求解的矩阵
% b: 方程的右侧向量
% tol: 收敛精度
% maxit: 最大迭代次数
% r: 矩阵分解的秩
function [x, resvec] = BFAKF(A, b, tol, maxit, r)
    n = size(A, 1);
    U = randn(r, n);
    V = randn(r, n);
    M = U' * A * V;
    z = U' * b;
    
    x = zeros(n, 1);
    resvec = zeros(maxit, 1);
    for k = 1:maxit
        % 求解低秩矩阵
        [U, S, V] = svd(M);
        S = diag(S);        
        S = S / max(S);        
        r = sum(S > tol);          
        U = U(:, 1:r);
        V = V(:, 1:r);
        S = S(1:r);
        M = diag(S) * V' * A * U * diag(S);

        % 求解稠密矩阵
        z = U' * b;
        y = zeros(r, 1);
        for i = r:-1:1
            y(i) = (z(i) - V(:, i+1:end) * y(i+1:end)) / S(i);
        end
        x = V * y;

        % 计算残差
        res = norm(b - A * x);
        resvec(k) = res;
        if res < tol
            break;
        end
    end   
    resvec(k+1:end) = [];
end

该程序首先生成随机的矩阵分解，然后使用快速迭代法迭代求解低秩矩阵和稠密矩阵，最终得到方程的解。其中，`svd`函数用于求解矩阵的奇异值分解，`diag`函数用于将向量转换为对角矩阵。