过控制顶点的b样条曲线 三次

B样条曲线是一种常用的曲线拟合方法，可以通过控制点来控制曲线的形状。三次B样条曲线是一种常见的B样条曲线，其数学表达式为：

$$
C(u) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,3}(u)P_i
$$

其中，$u$是曲线上的参数，$n$是控制点数减一，$P_i$是第$i$个控制点的坐标，$N_{i,3}(u)$是三次B样条基函数，其数学表达式为：

$$
N_{i,3}(u) = \frac{1}{6}(-u^3+3u^2-3u+1)N_{i,0}+\frac{1}{6}(3u^3-6u^2+4)N_{i,1}+\frac{1}{6}(-3u^3+3u^2+3u+1)N_{i,2}+\frac{1}{6}u^3N_{i,3}
$$

其中，$N_{i,k}$是B样条基函数，其数学表达式为：

$$
N_{i,k}(u) = \begin{cases}
1, & k=0 \text{且} u_i \leq u < u_{i+1}\\
\frac{u-u_i}{u_{i+k}-u_i}N_{i,k-1}(u) + \frac{u_{i+k+1}-u}{u_{i+k+1}-u_{i+1}}N_{i+1,k-1}(u), & k>0
\end{cases}
$$

通过调整控制点的位置和权重，可以控制三次B样条曲线的形状。

相关问题

双三次b样条曲面 c

双三次B样条曲面C是一种用于描绘三维空间中曲面的数学工具。它是由二维的双三次B样条曲线扩展而来，通过在两个参数方向上应用双三次插值来生成曲面。

双三次B样条曲面C由一个矩形控制网格和一组控制点组成。矩形控制网格由两个参数u和v定义，分别对应曲面上的位置。控制点则是用于定义曲面的形状和结构的点。

在生成双三次B样条曲面C时，首先需要创建一个规则的控制网格，并在该网格的顶点位置上放置控制点。接下来，在每个网格单元中使用双三次插值方法来确定曲线上的其他点。这些插值点的位置将由其相邻的控制点决定。

双三次B样条曲面C具有平滑的外观和柔和的过渡特性。这是由于其插值方法所带来的效果。在曲线上的每个点，其位置是根据其周围若干个控制点的位置来确定的，从而使得整个曲面具有高度的平滑性。

另外，双三次B样条曲面C也具有局部调整性。这意味着在修改曲面形状时，只需要改变控制点的位置，而不会对整个曲面进行重新计算。这种特性使得双三次B样条曲面C在计算机图形学和计算机辅助设计等领域中得到广泛应用。

总而言之，双三次B样条曲面C是一种用于描述三维空间中曲面的数学工具。它通过插值方法生成平滑的曲面，并具有局部调整性。这种曲面在计算机图形学和计算机辅助设计等领域中具有重要应用。

B样条曲线第i段曲线的控制多边形的三个顶点为P0（0，50）、P1（100，150）、P2（200，0），求一条2次多项式B样条曲线来拟合这三个点（参数t分别取0、1/2、1）

B样条曲线的控制顶点可以表示为：
$$
P_i = (x_i, y_i), \quad i=0,1,2
$$

对于2次B样条曲线，它的表达式为：
$$
C(t) = (1-t)^2 P_0 + 2t(1-t)P_1 + t^2 P_2
$$

将给定的控制顶点代入上式，可以得到：
$$
C(t) = (1-t)^2 (0,50) + 2t(1-t)(100,150) + t^2 (200,0)
$$

化简后得到：
$$
C(t) = (100t^2 - 100t + 50, -100t^2 + 200t + 50)
$$

当$t=0$时，$C(0)=(50,50)$；当$t=1/2$时，$C(1/2)=(75,100)$；当$t=1$时，$C(1)=(150,50)$。

因此，2次B样条曲线可以表示为：
$$
C(t) = (100t^2 - 100t + 50, -100t^2 + 200t + 50), \quad t \in [0,1]
$$