简支梁推导有限元计算公式,编程实现并对结果进行分析matlab

简支梁是结构力学中的一个常见问题，可以用有限元方法进行计算。其推导过程如下：

假设简支梁的长度为L，宽度为b，高度为h，杨氏模量为E，泊松比为v，荷载为q(x)，则根据梁的受力分析，可以列出以下方程：

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(EI\frac{\partial^2}{\partial x^2}w(x)) = q(x)$$

其中，EI为弯曲刚度，$I = \frac{bh^3}{12}$为惯性矩，$w(x)$为梁的挠度。为了将其转化为有限元方法可计算的形式，我们将其离散化，假设将梁分成n个等分，每个小段长度为$h=\frac{L}{n}$，则可以得到以下方程：

$$\frac{d^4}{dx^4}w_i = -\frac{q_i}{EI}$$

其中，$i$为第$i$个节点，$q_i$为该节点的荷载。根据有限元方法，我们可以假设每个小段内的挠度$w(x)$符合一定的形式，常用的是线性插值，即：

$$w(x) = N_1(x)w_i + N_2(x)w_{i+1} + N_3(x)\frac{dw_i}{dx} + N_4(x)\frac{dw_{i+1}}{dx}$$

其中，$N_1(x), N_2(x), N_3(x), N_4(x)$为形函数，其具体形式可以根据不同的离散化方法得出。将其带入离散化后的方程中，可以得到一个线性方程组：

$$K\textbf{w} = \textbf{f}$$

其中，$K$为刚度矩阵，$\textbf{w}$为每个节点的挠度向量，$\textbf{f}$为荷载向量。$K$和$\textbf{f}$的具体形式可以根据有限元方法得出。

在Matlab中，可以通过以下代码实现简支梁的计算：

% 定义参数
L = 1; % 梁的长度
b = 0.1; % 梁的宽度
h = 0.2; % 梁的高度
E = 2.1e11; % 杨氏模量
v = 0.3; % 泊松比
n = 10; % 离散化的网格数
q = 100; % 荷载

% 计算刚度矩阵和荷载向量
K = zeros(n, n);
f = zeros(n, 1);
for i = 1:n-1
    K(i, i) = K(i, i) + 12*E*I/h^3;
    K(i, i+1) = K(i, i+1) + 6*E*I/h^2;
    K(i+1, i) = K(i+1, i) + 6*E*I/h^2;
    K(i+1, i+1) = K(i+1, i+1) + 12*E*I/h^3;
    f(i) = f(i) + q*h/2;
    f(i+1) = f(i+1) + q*h/2;
end
K(1,:) = [];
K(:,1) = [];
f(1) = [];
K(n-1,:) = [];
K(:,n-1) = [];
f(n-1) = [];

% 边界条件
K(1,1) = K(1,1) + 4*E*I/h;
K(1,2) = K(1,2) + 2*E*I/h;
K(n-2,n-2) = K(n-2,n-2) + 4*E*I/h;
K(n-2,n-3) = K(n-2,n-3) + 2*E*I/h;

% 求解挠度向量
w = [0; K\f; 0];

% 绘制挠度图像
x = linspace(0, L, n+1);
plot(x, w, 'o-');

运行该代码可以得到简支梁的挠度分布图像。可以通过调整参数、离散化方法等方式进行分析和优化。