P（x）=4x^4 + 5x^2 +3x + 10，计算P（2）的相对误差限

首先，我们可以直接计算 P(2) 的值：

P(2) = 4×2^4 + 5×2^2 + 3×2 + 10 = 82

接下来，我们需要计算 P(2) 的相对误差，公式为：

ε = |(P(2) - P*(2)) / P(2)|

其中，P*(2) 是 P(2) 的近似值，我们可以使用泰勒级数展开式来近似计算，具体步骤如下：

1. 将 P(x) 在 x=2 处进行泰勒展开，得到：

P(x) = P(2) + P'(2)×(x-2) + P''(2)/2×(x-2)^2 + P'''(c)/6×(x-2)^3

其中，c 是 x 和 2 之间的某个值。将 P(x) 中的 x 替换为 2，得到：

P(2) = P(2) + P'(2)×0 + P''(2)/2×0^2 + P'''(c)/6×0^3

化简可得：

P*(2) = P(2) + P''(c)/2×(x-2)^2

2. 计算 P''(x) 和 P'''(x)：

P''(x) = 24x^2 + 10

P'''(x) = 48x

3. 将 P''(x) 和 P'''(x) 分别带入 P*(2) 的公式中，得到：

P*(2) = P(2) + [24×c^2 + 10]/2×(2-c)^2

4. 计算 P*(2) 的值：

当 c 取 1.99 时，P*(2) 的值最小，此时：

P*(2) = P(2) + [24×1.99^2 + 10]/2×(2-1.99)^2 = 82.08

因此，P(2) 的相对误差为：

ε = |(P(2) - P*(2)) / P(2)| = |(82 - 82.08) / 82| ≈ 0.00098

因此，P(2) 的相对误差限约为 0.098%。