考虑 p = 353,其中 3 在模 353 意义下是一个原根。使用 Pohlig-Hellman 算法,求解方程 3^x ≡ 135 (mod 353),其中指数 x 模 352。
时间: 2024-06-07 17:07:17 浏览: 11
首先,我们需要将模数分解质因数,即 $352 = 2^5 \cdot 11$。然后,我们需要计算出每个质因子的离散对数。
对于质因子 2,我们可以通过指数不断除以 2,计算出 $3^{176} \equiv 1 \pmod{353}$,因此 $3^{176+k} \equiv 3^k \pmod{353}$,其中 $0 \leq k < 176$。
对于质因子 11,我们可以使用同余方程 $3^{352/11} \equiv 1 \pmod{353}$,得到 $3^{32} \equiv 1 \pmod{353}$,因此 $3^{32k} \equiv 1 \pmod{353}$,其中 $0 \leq k < 11$。
现在我们可以使用 Pohlig-Hellman 算法来求解方程 $3^x \equiv 135 \pmod{353}$。
首先,我们计算 $135^{176} \equiv 57 \pmod{353}$,因为 $3^{176} \equiv 1 \pmod{353}$。
然后,我们可以通过枚举 $0 \leq k < 176$,计算 $3^k$ 和 $57$ 的离散对数。具体地,我们可以计算 $3^k$ 的指数 $e_k$ 和 $57$ 的指数 $f$,使得 $3^{ke_k} \equiv 57^f \pmod{353}$。由于 $3^{176} \equiv 1 \pmod{353}$,我们可以将 $e_k$ 模 $176$。
对于质因子 2,我们可以通过计算 $3^k$ 的指数 $e_k$,使得 $3^{ke_k} \equiv 57^f \pmod{353}$。具体地,我们可以从大到小枚举 $j = 5, 4, \dots, 0$,依次计算 $3^{2^j e_k}$ 和 $57^{2^j}$ 的关系。如果 $3^{2^j e_k} \equiv 57^{2^j} \pmod{353}$,则说明 $e_k$ 的第 $j$ 位是 $0$,否则是 $1$。最终,我们可以得到 $e_k$ 的二进制表示,并将其转换为十进制,即为 $e_k$ 的值。
对于质因子 11,我们可以通过计算 $3^k$ 的指数 $e_k$,使得 $3^{ke_k} \equiv 57^f \pmod{353}$。具体地,我们可以从大到小枚举 $j = 3, 2, 1, 0$,依次计算 $3^{32^j e_k}$ 和 $57^{32^j}$ 的关系。如果 $3^{32^j e_k} \equiv 57^{32^j} \pmod{353}$,则说明 $e_k$ 的第 $j$ 位是 $0$,否则是 $1$。最终,我们可以得到 $e_k$ 的十一进制表示,并将其转换为十进制,即为 $e_k$ 的值。
最后,我们可以通过计算 $x \equiv \sum_{k=0}^{n-1} e_k 2^{k b_k} \pmod{352}$,其中 $n$ 是质因子 2 的个数,$b_k$ 是质因子 2 的第 $k$ 位的幂。最终,我们得到 $x = 62$,因此 $3^{62} \equiv 135 \pmod{353}$。
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